高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第3课时 三角形中的几何计算达标检测（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学试题VIP专享VIP免费

三角形中的几何计算A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，a＝5，b＝4，cosC＝，则△ABC的面积是()A．8B．6C．4D．2解析：因为cosC＝，C∈(0，π)，所以sinC＝，所以S△ABC＝absinC＝×5×4×＝6.答案：B2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于()A.B.C.D.3解析：面积S＝＝bcsinA＝×1×c×，所以c＝4，因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝12＋42－2×1×4×＝13，所以＝＝.答案：A3．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积是()A．8B．16C．18D．32解析：在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝65，即AB2＋AD2－2AB·AD·cosB＝65，①在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝17，②又cosA＋cosB＝0.①＋②得AB2＋AD2＝41.因为平行四边形的周长为18，所以AB＋AD＝9，又AB2＋AD2＝41，所以AB＝4，AD＝5或AB＝5，AD＝4.所以cosA＝＝，所以sinA＝，故平行四边形的面积为×AB×AD×sinA×2＝16.答案：B4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，tanC等于()A．B．－C．－2D．－2解析：S△ABC＝acsinB＝·1·c·＝，所以c＝4，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝13，所以b＝，所以cosC＝＝－，所以sinC＝，所以tanC＝＝－＝－2.答案：C5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cosA＝，则△ABC的面积等于()A．B．C．2D．3解析：因为b2－bc－2c2＝0，所以(b－2c)(b＋c)＝0，所以b＝2c.由a2＝b2＋c2－2bccosA，解得c＝2，b＝4，因为cosA＝，所以sinA＝，所以S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝.答案：A二、填空题6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．答案：67．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．解析：因为a－b＝4，所以a＞b，又因为a＋c＝2b，所以b＋4＋c＝2b，所以b＝4＋c，所以a＞b＞c.所以最大角为A，所以A＝120°，所以cosA＝＝－，所以b2＋c2－a2＝－bc，所以b2＋(b－4)2－(b＋4)2＝－b(b－4)，即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b，所以b＝10，所以a＝14，c＝6.故周长为30.答案：308．在△ABC中，A＝，BC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，△BCD的面积为4，则AC的长是________．解析：设∠BCD＝θ，因为S△BCD＝4＝·CD·CB·sinθ，所以sinθ＝，θ∈(0，π)，所以cosθ＝±.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CD2＋CB2－2CD·CB·cosθ，从而BD＝4或BD＝4.当BD＝4时，由＝得sinB＝＝，又由＝得AC＝＝2，当BD＝4时，同理可得AC＝4.综上，AC＝4或AC＝2.答案：4或2三、解答题9.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAC＝∠DAC，CD＝2AB＝4.(1)若AC＝2，求△ABC的面积；(2)若∠ADC＝，求AC.解：(1)在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，因为∠ABC＝，AB＝2，AC＝2，所以20＝4＋BC2＋4×BC×，所以BC2＋2BC－16＝0，所以BC＝2或BC＝－4(舍去)，所以S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×2×2×＝2.(2)设∠BAC＝∠CAD＝θ，则0<θ<，∠BCA＝－θ，在△ABC中，＝，即＝，所以AC＝.在△ACD中，＝，即＝，所以AC＝.由＝，解得2sinθ＝cosθ，又0<θ<，所以sinθ＝，所以AC＝＝2.10．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足bsinA＋bcosA＝c.(1)求B；(2)若角A的平分线与BC相交于D点，AD＝AC，BD＝2，求△ABC的面积．解：(1)由题意，利用正弦定理可得sinBsinA＋sinBcosA＝sinC＝sin(A＋B)，整理可得sinB＝cosB，所以B＝.(2)由AD＝AC，可知∠ACD＝∠ADC.设∠BAD＝∠DAC＝α，∠ACD＝∠ADC＝β，则所以α＝30°，β＝75°，△ABD中，由正弦定理可得＝＝，所以AB＝＋，AD＝2，所以AC＝2，所以S△ABC＝AB·AC·sin2α＝3＋.B级能力提升1．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为()A．40B．20C．40D．20解析：设另两边长为8x，5x，则cos60°＝＝，解得x＝2.所以两边长是16与10，所以三角形的面积是×16×10×sin60°＝40.答案：A2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝2，1＋＝，则角C的值为________．解析：由正弦定理得1＋·＝，即＝，所以cosA＝，A∈(0，π)，A＝，sinA＝，由＝得sinC＝，又c