高中数学 第一章 解三角形 1.2.3 三角形中的几何计算练习 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学试题VIP专享VIP免费

第3课时三角形中的几何计算课后篇巩固探究A组1.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于()A.B.±C.-D.±解析由S=AB·BC·sin∠ABC,得4=×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=,从而cos∠ABC=±.答案B2.某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要()A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元解析由已知可求得草皮的面积为S=×20×30sin150°=150(m2),则购买草皮的费用为150a元.答案C3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,则b等于()A.1+B.C.D.2+解析由acsin30°=,得ac=6.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos30°=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,得b=+1.答案A4.在△ABC中,若AC=BC,C=,S△ABC=sin2A,则S△ABC=()A.B.C.D.2解析因为AB2=BC2+3BC2-2×BC×BC×=BC2,所以A=C=,所以S△ABC=sin2A=,故选A.答案A5.若△ABC的周长等于20,面积是10,B=60°,则边AC的长是()A.5B.6C.7D.8解析在△ABC中,设A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,由题意,得解得b=7,故边AC的长为7.答案C6.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且面积S=,则角C=.解析在△ABC中,S△ABC=,而S△ABC=absinC,∴absinC.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,∴cosC=sinC,∴C=45°.答案45°7.已知三角形的面积为,其外接圆面积为π,则这个三角形的三边之积等于.解析设三角形的外接圆半径为R,则由πR2=π,得R=1.由S=absinC=,故abc=1.答案18.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:=c.证明由余弦定理的推论得cosB=,cosA=,代入等式右边,得右边=c==左边,故原式得证.9.如图,在△ABC中,BC=5,AC=4,cos∠CAD=,且AD=BD,求△ABC的面积.解设CD=x,则AD=BD=5-x.在△CAD中,由余弦定理,得cos∠CAD=,解得x=1.∴CD=1,AD=BD=4.在△CAD中,由正弦定理,得,则sinC==4.∴S△ABC=AC·BC·sinC=×4×5×,故△ABC的面积为.10.导学号04994016若△ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,且S=c2-(a-b)2,a+b=2,求面积S的最大值.解S=c2-(a-b)2=c2-a2-b2+2ab=2ab-(a2+b2-c2).由余弦定理,得a2+b2-c2=2abcosC,∴c2-(a-b)2=2ab(1-cosC),即S=2ab(1-cosC).∵S=absinC,∴sinC=4(1-cosC).又sin2C+cos2C=1,∴17cos2C-32cosC+15=0,解得cosC=或cosC=1(舍去).∴sinC=,∴S=absinC=a(2-a)=-(a-1)2+.∵a+b=2,∴0C,C为锐角,且cosC=.由c2=a2+b2-2abcosC,得b2-11b+24=0,解得b=3或b=8.当b=8时,角B是钝角,cosB=>0,∴b=8舍去.同理验证可知b=3符合条件.∴S△ABC=absinC=×7×3×.答案C2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acosC=4csinA,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为()A.B.C.D.解析由3acosC=4csinA,得.又由正弦定理,得,∴tanC=,∴sinC=.又S=bcsinA=10,b=4,∴csinA=5.根据正弦定理,得a=,故选B.答案B3.在△ABC中,ab=60,S△ABC=15,△ABC的外接圆半径为,则边c的长为.解析∵S△ABC=absinC=15,ab=60,∴sinC=.由正弦定理,得=2R,则c=2RsinC=3.答案34.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为.解析∵S△ABC=bcsinA=bcbc×=3,∴bc=24.又b-c=2,∴a2=b2+c2-2bccosA=(b-c)2+2bc-2bc×=4+2×24+×24=64.∵a为△ABC的边,∴a=8.答案85.在△ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-,则∠BAC=.解析如图,由S△ADC=3-和S△ADC=AD·DCsin60°,得3-×2×DC×,解得DC=2(-1),则BD=DC=-1.在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos120°=(-1)2+4-2(-1)×2×=6,∴AB=.在△ADC中,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos60°=22+[2(-1)]2-2×2×2(-1)×=24-12,∴AC=-1).在△ABC中,cos∠BAC=,∴∠BAC=60°.答案60°6.导学号04994017如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.解连接BD,则四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CDB=AB·ADsinA+BC·CDsinC.∵A+C=180°,∴sinA=sinC,∴S=(AB·AD+BC·CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA.在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA.在△CDB中,由余弦定理,得BD2=CB2+CD2-2CB·CDcosC=62+42-2×6×4cosC=52-48cosC.∴20-16cosA=52-48cosC.∵cosC=-cosA,∴64cosA=-32,∴cosA=-.又A∈(0°,180°),∴A=120°,∴S=16sin120°=8.7.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(a-b)·sinB,求△ABC面积的最大值.解由正弦定理,得a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理,得cosC=.∵C∈(0,π),∴C=.∴S=absinC=×2RsinA·2RsinB·=R2sinAsinB=R2sinA=R2(sinAcosA+sin2A)=R2=R2.∵A∈.∴2A-,∴sin,∴S∈,∴△ABC面积的最大值为R2.