1.3.1空间几何体的表面积(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列有四个结论，其中正确的是________．(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；(2)三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；(4)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥．【解析】(1)不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；(2)缺少第一个条件；(3)缺少第二个条件；而(4)可推出以上两个条件，故正确．【答案】(4)2．一个正四棱柱的对角线的长是9cm，全面积等于144cm2，则这个棱柱的侧面积为________cm2.【解析】设底面边长，侧棱长分别为acm，lcm，∴∴S侧＝4×4×7＝112cm2.【答案】1123．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是________.【解析】由题意可知S侧＝2×5×4×sin60°＋5×4＝20＋20.【答案】20＋204．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．【解析】 l＝，∴S侧＝π(R＋r)l＝2πl2＝32π，∴l＝4.【答案】45．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为__________．【解析】斜高h′＝＝，S1＝×(3×2＋3×4)×＝9，S2＝×22＋×42＝5，∴S1>S2.【答案】S1>S26．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m，则全面积的最大值为________．【解析】设圆锥底面半径为r，母线为l，则有2l＋2πr＝2m.∴S全＝πr2＋πrl＝πr2＋πr(m－πr)＝(π－π2)r2＋πmr.∴当r＝＝时，S全有最大值.【答案】7．正六棱柱的高为5，最长的对角线为13，则它的侧面积为__________．【解析】如图，连结A1D1，AD1，则易知AD1为正六边形最长的对角线，由棱柱的性质，得AA1⊥A1D1，在Rt△AA1D1中，AD1＝13，AA1＝5，A1D1＝＝12，由正六棱柱的性质A1B1＝A1D1＝6，S棱柱侧面积＝6×6×5＝180.【答案】1808．如图1－3－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．图1－3－2【解析】设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1－AB1C为四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为4×××＝2，所以三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶.【答案】1∶二、解答题9.如图1－3－3所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.图1－3－3(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(2)若大棱锥PO的侧棱为12cm，小棱锥底面边长为4cm，求截得棱台的侧面积和全面积.【解】(1)设正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则截面的边长为，∴S大棱锥侧＝c1h1＝×6a×＝3a，S小棱锥侧＝c2h2＝×3a×＝a，S棱台侧＝(c1＋c2)(h1－h2)＝(6a＋3a)×＝a，∴S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.(2)S侧＝(c1＋c2)(h1－h2)＝144(cm2)，S上＝6××4×4×sin60°＝24(cm2)，S下＝6××8×8×sin60°＝96(cm2)，∴S全＝S侧＋S上＋S下＝144＋120(cm2)．10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．【解】法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm.即A′O′＝xcm，AO＝3xcm(O′，O分别为上、下底面圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D.在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2xcm，所以A′D＝AD＝2xcm，又S轴截面＝(A′B′＋AB)·A′D＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.综上，圆台的高OO′＝14cm，母线长AA′＝OO′＝14cm，上、下底面的半径分别为7cm和21cm.法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm，延长AA′，BB′交OO′的延长线于点S(O′，O分别为上、下底面圆心)．在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3xcm，又SO′＝A′O′＝xcm，所以OO′＝2xcm.又S轴截面＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.综上，圆台的高OO′＝14cm，母线长AA′＝OO′＝14cm，上、下底面的半径分别为7cm，21cm.[能力...
