1.3空间几何体的表面积和体积一、填空题1.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的体积为________．【答案】2π【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1，S底＝πr2＝π，V＝S底·h＝2π.2.若在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于________．【答案】【解析】依题意有，三棱锥PABC的体积V＝S△ABC·PA＝×××2×3＝.3.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且，则的值是________．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，则2πr1h1＝2πr2h2，所以.又，所以.所以.4.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．【答案】【解析】由体积相等得：考点：圆柱及圆锥体积5.如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB＝1，BC＝2，分别以A，D为圆心，1为半径作圆弧EB，EC(E在线段AD上)．若由两圆弧EB，EC及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为__________．【答案】.考点：旋转体的组合体.6.如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为_____．【答案】【解析】三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.7.已知一个圆锥的侧面展开图(扇形)恰好是一个半圆的四分之三，若此扇形的面积为S1，圆锥的表面积为S2，则S1∶S2＝________．【答案】8∶11【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则2πr＝πl，则l＝r，所以S1＝＝πr2，S2＝πr2＋πr2＝πr2，因此S1∶S2＝8∶11.8.如图，等边三角形ABC的边长为4，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△AMN折起，使点A到A′的位置．若平面A′MN与平面MNCB垂直，则四棱锥A′MNCB的体积为________．【答案】3【解析】 平面A′MN与平面MNCB垂直，根据面面垂直的性质定理，可知A′E就是四棱锥A′MNCB的高，A′E＝.又四棱锥的底面面积是×＝3，∴V＝×3×＝3.点睛:处理翻折问题关注那些量变了，那些量没有变，特别是那些没有变，在本题中，AE与MN始终保持垂直，利用面面垂直性质，可知A′E就是四棱锥A′MNCB的高，从而易得四棱锥的体积.处理多面体体积问题往往转化为三棱锥体积，而三棱锥哪个面都可以作为底面，处理体积非常灵活.9.若长方体的长、宽、高分别为2a，a，a的长方体的8个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．【答案】6πa2【解析】由于长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，则长方体的体对角线长为＝a.∴2R＝a，∴S球＝4πR2＝6πa2.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．10.如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球(球的直径大于8cm)放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为________cm3.【答案】【解析】作出该球轴截面的图形，如图所示，依题意得BE＝2，AE＝CE＝4，设DE＝x，故AD＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故该球的半径AD＝5，所以V＝πR3＝(cm3)．二、解答题11.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥EBCD的体积．【答案】（1）详见解析；（2）12.【解析】试题分析：（1）取的中点，连接和，可以证明四边形是平行四边形，进而，再由直线和平面平行的判定定理可证明平面；（2）利用“等积变换”可得．试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连接，因为是的中点，所以，且由题意知，．而是的中点，所以所以...
