1.2.4第2课时两平面垂直(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的序号是__________．(1)若m⊥n，n∥α，则m⊥α；(2)若m∥β，β⊥α，则m⊥α；(3)若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；(4)若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.【解析】(1)中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；(2)中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；(3)中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；(4)中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．【答案】(3)2．如图1－2－98，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1－BD－C的大小为________．图1－2－98【解析】如图，取BD中点O，连结OC，OC1， AB＝AD＝2，∴CO⊥BD，CO＝. CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD.∴∠C1OC为二面角C1－BD－C的平面角，∴tan∠C1OC＝＝＝，∴∠C1OC＝30°，即二面角C1－BD－C的大小为30°.【答案】30°3．下列四个命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．其中真命题的序号是________.【解析】根据空间点、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故①正确；过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故②不正确；根据平面与平面平行的性质定理知③正确；根据两个平面垂直的性质知④正确．从而正确的命题有①③④.【答案】①③④4．如图1－2－99所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为________．图1－2－99【解析】 PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故二面角B－PA－C的大小为90°.【答案】90°5．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为________．【解析】如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2.取BC的中点E，连结DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝，又AD＝2，AD2＝AE2＋DE2，所以∠DEA＝90°.【答案】90°6．如图1－2－100所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是________．图1－2－100【解析】连结B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，则B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a，所以B′C2＝B′D2＋DC2，所以∠B′DC＝90°.【答案】90°7．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有________对．【解析】因为AD⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5对．【答案】58．已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．若PC＝PD＝1，CD＝，则平面α与平面β的位置关系是________.【解析】因为PC⊥α，AB⊂α，所以PC⊥AB.同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD.设AB与平面PCD的交点为H，连结CH，DH.因为AB⊥平面PCD，所以AB⊥CH，AB⊥DH，所以∠CHD是二面角C－AB－D的平面角．又PC＝PD＝1，CD＝，所以CD2＝PC2＋PD2＝2，即∠CPD＝90°.在平面四边形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝∠CPD＝90°，所以∠CHD＝90°，故平面α⊥平面β.【答案】垂直二、解答题9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.图1－2－101求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.【证明】(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A...
