第5节定积分（答题时间：60分钟）1
已知，当＝时，恒成立
求曲线，及所围成的平面图形的面积
设y＝f（x）是二次函数，方程f（x）＝0有两个相等的实根，且f′（x）＝2x＋2
（1）求y＝f（x）的表达式；（2）求y＝f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积
（3）若直线x＝－t（0＜t＜1）把y＝f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积二等分，求t的值
抛物线y＝ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y＝4相切
此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S
求使S取得最大值的a、b值，并求Smax
设直线与抛物线所围成的图形的面积为S，它们与直线围成的图形的面积为T，若U＝S＋T达到最小值，求的值；并求此时平面图形绕轴一周所得旋转体的体积
解：作出，及的图如图所示，解方程组得解方程组得所求面积答：此平面图形的面积为
解：（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c，则f′（x）＝2ax＋b，又已知f′（x）＝2x＋2∴a＝1，b＝2
∴f（x）＝x2＋2x＋c又方程f（x）＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1
故f（x）＝x2＋2x＋1
（2）依题意，得所求面积＝
（3）依题意，有，∴，－t3＋t2－t＋＝t3－t2＋t，2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2（t－1）3＝－1，于是t＝1－
解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝，所以（1）又直线x＋y＝4与抛物线y＝ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2＋（b＋1）x－4＝0，其判别式必须为0，即（b＋1）2＋16a＝0
于是代入（1）式得：，；令S′（b）＝0：在b＞0时得唯一公共点b＝3，且当0＜b＜3时，S′（b）＞0；当b＞3时，S'（b）＜0
故在b＝3时，S（b）取得极大值，也
