课时分层作业(三十七)正弦、余弦函数的图象与性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是()A．B．(－π，0]C．D．(－π，π)B[y＝cosx在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a∈(－π，0]．]2．函数f(x)＝7sin的奇偶性为()A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．既奇又偶A[f(x)＝7sin＝7sin＝－7cosx，∴f(x)是偶函数．]3．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ＝()A．2kπ＋(k∈Z)B．2kπ＋(k∈Z)C．kπ＋(k∈Z)D．kπ＋(k∈Z)D[由题意，当x＝时，f(x)＝sin＝±1，故＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)．]4．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数D[∵y＝sin＝－cosx，∴T＝2π，即A正确．y＝cosx在上是减函数，则y＝－cosx在上是增函数，即B正确．由图象知y＝－cosx的图象关于x＝0对称，即C正确．y＝－cosx为偶函数，即D不正确．]5．若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝()A．B．C．D．C[因为当0≤ωx≤时，函数f(x)是增函数，当≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，即当0≤x≤时，函数f(x)为增函数，当≤x≤时，函数f(x)为减函数，所以＝，所以ω＝．]二、填空题6．(一题两空)函数y＝2cosx－1的最大值是________，最小值是_______．1－3[∵cosx∈[－1,1]，∴y＝2cosx－1∈[－3,1]．∴最大值为1，最小值为－3．]7．(一题两空)y＝的定义域为________，单调递增区间为________．[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)(k∈Z)[由题意知sinx≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)．∵当x∈[0，π]时，y＝在上单调递增，∴其递增区间为(k∈Z)．]8．函数值sin，sin，sin从大到小的顺序为________(用“>”连接)．sin>sin>sin[∵<<<<π，又函数y＝sinx在上单调递减，∴sin>sin>sin．]三、解答题9．设函数f(x)＝sin，x∈R．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．[解](1)最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，∴当t＝，即x＝时，ymin＝×＝－1，当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝．10．求下列函数的最值：(1)y＝；(2)y＝3－4cos，x∈．[解](1)y＝＝3－．∴当sinx＝1时，ymax＝3－＝；当sinx＝－1时，ymin＝3－7＝－4．(2)∵x∈，∴2x＋∈，从而－≤cos≤1．∴当cos＝1，即2x＋＝0，即x＝－时，ymin＝3－4＝－1；当cos＝－，即2x＋＝，即x＝时，ymax＝3－4×＝5．1．y＝|cosx|的一个单调递增区间是()A．B．[0，π]C．D．D[将y＝cosx的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cosx|的图象(图略)．故选D．]2．(多选题)已知函数f(x)＝sin＋1，则()A．f(x)的最小正周期为πB．f(x)的最小正周期为2πC．f(x)的最大值为D．f(x)的最小值为ACD[f(x)＝sin＋1，则f(x)的最小正周期为π，最小值为－＋1＝，最大值为＋1＝．]3．已知ω是正数，函数f(x)＝2sinωx在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．[由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋≤x≤＋，∴f(x)的单调递增区间是，k∈Z．根据题意，得⊆，从而有解得0＜ω≤．故ω的取值范围是．]4．若x∈，则函数f(x)＝2cos2x＋sinx－1的值域是________．[f(x)＝－2sin2x＋sinx＋1＝－2＋，因为x∈，所以sinx∈，当sinx＝时，f(x)有最大值1；当sinx＝时，f(x)有最小值．]5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上是增函数α，β是锐角三角形的两个内角，试判断f(sinα)与f(cosβ)的大小关系．[解]由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．因为函数f(x)是偶函数且在[－4，－3]上是增函数，所以函数f(x)在[0,1]上是增函数．又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞，即＞α＞－β＞0，因为y＝sinx在上为增函数，所以sinα＞sin＝cosβ，且sinα∈[0,1]，cosβ∈[0,1]，所以f(sinα)＞f(cosβ)．
