3.2.1对数及其运算课时过关·能力提升1若loga3√b=2c,则a,b,c满足的关系式是()A.a2c=bB.3a2c=bC.a6c=bD.a23c=b解析因为loga3√b=2c,所以a2c=3√b,所以(a2c)3=b,即a6c=b.答案C2log❑√33127的值等于()A.32B.-32C.6D.-6解析log❑√33127=log3-123-3=-3-12log33=6.答案C3若lnx-lny=a,则ln(x2)3-ln(y2)3等于()A.a2B.aC.3a2D.3a解析ln(x2)3-ln(y2)3=3(lnx2-lny2)=3(lnx-ln2-lny+ln2)=3(lnx-lny)=3a.答案D4已知lg2=a,lg3=b,则log36等于()A.a+baB.a+bbC.aa+bD.ba+b解析由换底公式,得log36=lg6lg3=lg(2×3)lg3=lg2+lg3lg3=a+bb.答案B5在对数式loga-4(6-a)中,实数a的取值范围是()A.a>6或a<4B.4
0,a-4>0,a-4≠1,故40,且x≠1,logx116=-4,则x=.解析∵logx116=-4,∴x-4=116.∴x4=16=24.∵x>0,且x≠1,∴x=2.答案29计算(0.0081)-14-10×0.02713+lg14-lg25=.解析原式=103-10×310+lg1100=103-3-2=-53.答案-5310已知loga2=m,loga3=n,则a2m+n=.解析∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3.∴a2m+n=(am)2·an=22×3=12.答案1211已知正数a,b,c满足a2+b2=c2.求证:log2(1+b+ca)+log2(1+a-cb)=1.证明因为左边=log2a+b+ca+log2a+b-cb=log2(a+b+c)(a+b-c)ab=log2(a+b)2-c2ab=log2a2+b2-c2+2abab=log22=1=右边,所以原式成立.★12已知lga和lgb是关于x的方程x2-x+m=0的两个根,而关于x的方程x2-(lga)x-(1+lga)=0有两个相等的实数根,求实数a,b和m的值.解由题意,得{lga+lgb=1,lga·lgb=m,(lga)2+4(1+lga)=0.①②③由③,得(lga+2)2=0,故lga=-2,即a=1100.代入①,得lgb=1-lga=3,即b=103=1000.代入②,得m=lga·lgb=(-2)×3=-6.故a=1100,b=1000,m=-6.★13设a>0,a≠1,x,y满足logax+3logxa-logxy=3,用logax表示logay,并求出当x为何值时,logay取得最小值.解由换底公式,得logax+3·1logax−logaylogax=3,整理得loga2x+3-logay=3logax,于是logay=loga2x-3logax+3=(logax-32)2+34.故当logax=32,即x=a32时,logay取最小值34.
