课时分层作业(十一)基本不等式的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．若a＞1，则a＋的最小值是()A．2B．aC．D．3D[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3．]2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4C[∵x<0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．]3．已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是()A．3B．4C．5D．6B[由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．]4．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是()A．3B．6C．9D．12C[x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋4＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9．当且仅当即时等号成立，故x＋y的最小值为9．]5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．36B[(1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B．]二、填空题6．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为___________．[答案]17．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2dm，左右空白各宽1dm，则四周空白部分面积的最小值是____________dm2．56[设阴影部分的高为xdm，则宽为dm，四周空白部分的面积是ydm2．由题意，得y＝(x＋4)－72＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．当且仅当x＝，即x＝12dm时等号成立．]8．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是____________．[6，＋∞)[∵a，b∈(0，＋∞)，a＋b＋3＝ab≤，∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解之得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．]三、解答题9．已知a>b>0，求a2＋的最小值．[解]∵a>b>0，所以b(a－b)≤＝，∴a2＋≥a2＋≥16．当且仅当即时取等号．故a2＋的最小值为16．10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)[解]设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得y＝2x－＝118－＝118－＝130－≤130－2＝130－112＝18(千元)，当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．1．若－40．故f(x)＝－≤－1．当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．]2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2,4)D．(－4,2)D[∵x>0，y>0且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4
