第三章三角恒等变换测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.cos5π8cosπ8+sin5π8sinπ8=()A.1B.0C.-1D.12解析cos5π8cosπ8+sin5π8sinπ8=cosπ2=0.答案B2.若sinα=k+1k-3,cosα=k-1k-3,则k的值为()A.-7或1B.-7C.1D.-7或-1解析由题意知(k+1k-3)2+(k-1k-3)2=1,∴(k+1)2+(k-1)2=(k-3)2,∴k2+6k-7=0,∴k=-7或k=1,经检验,符合题意,故选A.答案A3.若sinα-4cosα=0,则tan(3π4-α)的值为()A.53B.-53C.35D.-35解析由已知得tanα=sinαcosα=4,于是tan(3π4-α)=-1-tanα1-tanα=53.答案A4.若(4tanα+1)(1-4tanβ)=17,则tan(α-β)的值为()A.14B.12C.4D.12解析由已知得4(tanα-tanβ)=16(1+tanαtanβ),即tanα-tanβ1+tanαtanβ=4,∴tan(α-β)=4.故选C.答案C5.已知cos(π4+α)=35,则sin2αsin(π4-α)的值为()A.715B.-715C.4315D.-4315解析因为cos(π4+α)=35,所以sin2α=-cos(2α+π2)=1-2cos2(π4+α)=725,sin(π4-α)=cos(π4+α)=35,所以sin2αsin(π4-α)=72535=715.答案A6.已知tanα=2,则2sin2α+1cos2(α-π4)的值是()A.53B.-134C.135D.134答案D7.已知sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=45,且β是第三象限角,则cosβ2的值等于()A.±❑√55B.±2❑√55C.-❑√55D.-2❑√55解析由已知,得sin[(α-β)-α]=sin(-β)=45,∴sinβ=-45. β是第三象限角,∴cosβ=-35.∴cosβ2=±❑√1+cosβ2=±❑√15=±❑√55.答案A8.函数f(x)=2cos2x-❑√3sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别是()A.2π,3B.2π,1C.π,3D.π,1解析 f(x)=cos2x+1-❑√3sin2x=2(12cos2x-❑√32sin2x)+1=2cos(2x+π3)+1,∴T=π,f(x)max=3.答案C9.若sin2α=-2425,α∈(-π4,0),则sinα+cosα等于()A.-15B.15C.-75D.75解析由已知得(sinα+cosα)2=1+sin2α=1-2425=125,又α∈(-π4,0),所以sinα<0,cosα>0,且|sinα|<|cosα|,于是sinα+cosα=15.答案B10.(2018全国Ⅱ高考)若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数,则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f(x)=cosx-sinx=❑√2(❑√22cosx-❑√22sinx)=❑√2cos(x+π4),(方法1)作图如图所示.易知amax=34π.(方法2) f(x)在2kπ≤x+π4≤2kπ+π,k∈Z上为减函数,∴2kπ-π4≤x≤2kπ+34π,k∈Z,令k=0可知x∈[-π4,34π],∴amax=34π.答案C11.化简sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的结果是()A.89B.892C.45D.452解析sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22°+…+sin245°+cos244+…+cos21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°=44+12=892.故选B.答案B12.已知sin2(α+γ)=nsin2β,则tan(α+β+γ)tan(α-β+γ)=()A.n-1n+1B.nn+1C.nn-1D.n+1n-1解析为方便,记α+γ=δ,则原式变为sin[(δ+β)+(δ-β)]=nsin[(β+δ)+(β-δ)],展开得sin(δ+β)cos(δ-β)+cos(δ+β)sin(δ-β)=nsin(β+δ)cos(β-δ)+ncos(β+δ)sin(β-δ),等式两边同除以cos(δ-β)cos(δ+β)得tan(δ+β)+tan(δ-β)=ntan(β+δ)-ntan(δ-β),于是tan(α+β+γ)tan(α-β+γ)=n+1n-1.答案D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.如果cosα=15,且α是第四象限的角,那么cos(α+π2)=.解析由题意得sinα=-❑√1-cos2α=-❑√1-125=-2❑√65,故cos(α+π2)=-sinα=2❑√65.答案2❑√6514.已知tan(x+π4)=2,则tanxtan2x的值为.解析由tan(x+π4)=tanx+tanπ41-tanxtanπ4=2,得tanx=13,所以tan2x=2tanx1-tan2x=34,故tanxtan2x=13×43=49.答案4915.若A+B=2π3,则cos2A+cos2B的取值范围是.解析cos2A+cos2B=12(cos2A+cos2B)+1.因为A+B=2π3,所以12(cos2A+cos2B)+1=12[cos2A+cos(4π3-2A)]+1=12(12cos2A-❑√32sin2A)+1=12cos(2A+π3)+1.所以cos2A+cos2B∈[12,32].答案[12,32]16.已知sin(α+π6)=13,π3<α<π,则sin(π12-α)=.解析由π3<α<π可知π2<α+π6<7π6,因为sin(α+π6)=13,所以cos(α+π6)=-2❑√23.所以sin(π12-α)=sin[π4-(α+π6)]=❑√22cos(α+π6)−❑√22sin(α+π6)=-23−❑√26=-4+❑√26.答案-4+❑√26三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知sinα=❑√55,α∈(0,π2),tanβ=13.(1)求tan...
