高中数学 第3章 三角恒等变换 3.3 二倍角的三角函数课后篇巩固探究（含解析）北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

§3二倍角的三角函数课后篇巩固探究A组基础巩固1.若tanα=3,则sin2αcos2α的值等于()A.2B.3C.4D.6解析sin2αcos2α=2sinαcosαcos2α=2sinαcosα=2tanα=6.答案D2.❑√1+cos100°−❑√1-cos100°等于()A.-2cos5°B.2cos5°C.-2sin5°D.2sin5°解析原式=❑√2cos250°−❑√2sin250°=❑√2(cos50°-sin50°)=2(❑√22cos50°-❑√22sin50°)=2sin(45°-50°)=-2sin5°.答案C3.cosπ17·cos2π17·cos4π17·cos8π17的值为()A.12B.14C.18D.116解析乘以sinπ17sinπ17,利用倍角公式化简得116.答案D4.已知32π<α<2π,化简❑√12+12❑√12+12cos2α的结果为()A.sinα2B.-sinα2C.cosα2D.-cosα2解析 3π2<α<2π,∴3π4<α2<π,∴cosα>0,cosα2<0,∴原式=❑√12+12❑√1+cos2α2❑√12+12❑√cos2α=❑√1+cosα2=❑√cos2α2=-cosα2.答案D5.若sin2α=2425,0<α<π2,则❑√2cos(π4-α)的值为()A.15B.-15C.±15D.75解析(sinα+cosα)2=1+sin2α=4925,因为0<α<π2,所以sinα+cosα=75,则❑√2cos(π4-α)=❑√2×❑√22(cosα+sinα)=75.答案D6.若sinα+cosαsinα-cosα=12,则tan2α=()A.-34B.34C.-43D.43解析等式sinα+cosαsinα-cosα=12左边分子、分母同时除以cosα(显然cosα≠0),得tanα+1tanα-1=12,解得tanα=-3,∴tan2α=2tanα1-tan2α=34.答案B7.已知sin(π4-x)=35,则sin2x=.答案7258.定义运算a􀱇b=a2-ab-b2,则sinπ6􀱇cosπ6=.解析原式=sin2π6-sinπ6·cosπ6-cos2π6=-cosπ3−12sinπ3=-12−❑√34.答案-12−❑√349.求下列各式的值:(1)2cos2α-12tan(π4-α)sin2(π4+α);(2)2❑√3tan15°+tan215°;(3)sin10°sin30°sin50°sin70°.解(1)原式=cos2α2tan(π4-α)cos2(π2-π4-α)=cos2α2tan(π4-α)cos2(π4-α)=cos2α2sin(π4-α)cos(π4-α)=cos2αsin(2×π4-2α)=cos2αcos2α=1.(2)原式=❑√3tan30°(1-tan215°)+tan215°=❑√3×❑√33(1-tan215°)+tan215°=1.(3)(方法一)sin10°sin30°sin50°sin70°=12cos20°cos40°cos80°=2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20°=sin40°cos40°cos80°4sin20°=sin80°cos80°8sin20°=116·sin160°sin20°=116.(方法二)令x=sin10°sin50°sin70°,y=cos10°cos50°cos70°.则xy=sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°=12sin20°·12sin100°·12sin140°=18sin20°sin80°sin40°=18cos10°cos50°cos70°=18y. y≠0,∴x=18.从而有sin10°sin30°sin50°sin70°=116.10.导学号93774097已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx),x∈R.(1)求函数f(x)图像的对称中心;(2)求函数f(x)在区间[π8,3π4]上的最小值和最大值.解(1)f(x)=2cosx(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-1=❑√2sin(2x-π4)-1.令2x-π4=kπ,k∈Z,得x=kπ2+π8,k∈Z,因此,函数f(x)的图像的对称中心为(kπ2+π8,-1),k∈Z.(2)因为f(x)=❑√2sin(2x-π4)-1在区间[π8,3π8]上为增函数,在区间[3π8,3π4]上为减函数,又f(π8)=-1,f(3π8)=❑√2-1,f(3π4)=❑√2sin(3π2-π4)-1=-❑√2cosπ4-1=-2,故函数f(x)在区间[π8,3π4]上的最大值为❑√2-1,最小值为-2.B组能力提升1.2cos2x-12tan(π4-x)sin2(π4+x)可化简为()A.1B.-1C.cosxD.-sinx解析原式=cos2x2tan(π4-x)cos2(π4-x)=cos2x2·sin(π4-x)cos(π4-x)cos2(π4-x)=cos2x2sin(π4-x)cos(π4-x)=cos2xsin(π2-2x)=1.答案A2.若cosθ=-45,θ是第三象限的角,则1-tanθ21+tanθ2=()A.12B.-12C.35D.-2解析1-tanθ21+tanθ2=cosθ2-sinθ2cosθ2+sinθ2=(cosθ2-sinθ2)(cosθ2+sinθ2)(cosθ2+sinθ2)2=cosθ1+sinθ,因为cosθ=-45,且θ是第三象限的角,所以sinθ=-35,故1-tanθ21+tanθ2=-451-35=-2.答案D3.若cos2αsin(α-π4)=-❑√22,则cosα+sinα的值为.解析 cos2αsin(α-π4)=cos2α-sin2αsinαcosπ4-cosαsinπ4=❑√2(cosα+sinα)(cosα-sinα)sinα-cosα=-❑√2(cosα+sinα)=-❑√22,∴cosα+sinα=12.答案124.已知角α,β为锐角,且1-cos2α=sinαcosα,tan(β-α)=13,则β=.解析由1-cos2α=sinαcosα,得1-(1-2sin2α)=sinαcosα,即2sin2α=sinαcosα. α为锐角,∴sinα≠0,∴2sinα=cos...