高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦练习 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学试题VIP免费

3.1.1两角和与差的余弦课后拔高提能练一、选择题1．cos15°＋cos75°的值等于()A．B．－C．－D．解析：选Acos15°＋cos75°＝cos(45°－30°)＋cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＋cos45°cos30°－sin45°sin30°＝2cos45°cos30°＝2××＝.2．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，则cos(α－β)的值为()A．B．C．D．－解析：选D由已知得(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝2＋2＝1，所以2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1，即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－.故选D．3．已知cos＝，0<θ<，则cosθ等于()A．B．C．D．解析：选A∵0<θ<，∴<θ＋<，∴sin＝，∴cosθ＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，故选A．4．已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝，则cosαcosβ的值为()A．B．C．D．解析：选D由两角和与差的余弦公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，所以cos(α＋β)＋cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝2cosαcosβ＝，∴cosαcosβ＝.故选D．5．函数y＝cosxcos＋sinxsin的最小正周期是()A．B．C．πD．2π解析：选Cy＝cosxcos＋sinxsin＝cos∴T＝＝π，故选C．6．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于()A．B．－C．D．－解析：选C∵0<α<，<α＋<，∴sin＝，－<β<0，<－<，∴sin＝.∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.故选C．二、填空题7.cos15°＋sin15°＝__________.解析：cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.答案：8．若θ∈，a＝(1，sinθ)，b＝(3sinθ，1)，且a∥b，则cos＝________.解析：∵a∥b，∴3sin2θ＝1，又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝－＝－.∴cos＝cosθcos－sinθsin＝－×－×＝.答案：－9．已知α，β为锐角，cosα＝，cosβ＝，则α＋β的值为________．解析：∵α，β为锐角，∴sinα＝＝，sinβ＝＝.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.∵0<α＋β<π，∴α＋β＝.答案：三、解答题10．已知cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，求sinβ的值．解：∵cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα＝m.∴cos(α－β－α)＝m.∴cosβ＝m.而β为第三象限角，∴sinβ＝－＝－.11．如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，△AOB为正三角形．(1)求sin∠COA；(2)求cos∠COB.解：(1)根据三角函数定义可知sin∠COA＝.(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°，又sin∠COA＝，cos∠COA＝，∴cos∠COB＝cos(∠COA＋60°)＝cos∠COAcos60°－sin∠COAsin60°＝×－×＝.12．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.(1)求cos(α－β)；(2)若0<α<，－<β<0，且sinβ＝－，求sinα.解：(1)∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．∵|a－b|＝，∴＝，即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.(2)∵0<α<，－<β<0，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝，sin(α－β)＝.∵sinβ＝－，∴cosβ＝.∴cosα＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ＝×－×＝.又0<α<，∴sinα＝＝.