§1同角三角函数的基本关系课后篇巩固探究A组基础巩固1.已知tanα=3,则2sinα-cosαsinα+3cosα等于()A.13B.56C.32D.2答案B2.在△ABC中,若cos(A+B)>0,sinC=13,则tanC等于()A.❑√24B.-❑√24C.±❑√24D.12解析由cos(A+B)>0知,-cosC>0,即cosC<0,又sinC=13,所以cosC=-❑√1-(13)2=-2❑√23,故tanC=sinCcosC=-❑√24.答案B3.若sinα-2cosα3sinα+5cosα=-5,则tanα的值为()A.-2B.2C.2316D.-2316解析由已知可得tanα-23tanα+5=-5,解得tanα=-2316.答案D4.若α为第三象限角,则cosα❑√1-sin2α+2sinα❑√1-cos2α的值为()A.3B.-3C.1D.-1解析∵α为第三象限角,∴sinα<0,cosα<0,则cosα❑√1-sin2α+2sinα❑√1-cos2α=cosα|cosα|+2sinα|sinα|=-1-2=-3.答案B5.若△ABC的内角A满足sinAcosA=13,则sinA+cosA的值为()A.❑√153B.-❑√153C.53D.-53解析因为sinAcosA=13>0,所以内角A为锐角,所以sinA+cosA=❑√1+2sinAcosA=❑√1+23=❑√153.答案A6.若角α的终边落在直线x+y=0上,则sinα❑√1-sin2α+❑√1-cos2αcosα=.解析∵角α的终边落在直线y=-x上,∴角α的终边可能在第二或第四象限,则sinα❑√1-sin2α+❑√1-cos2αcosα=sinα|cosα|+|sinα|cosα={sinα-cosα+sinαcosα=0(α),在第二象限sinαcosα+-sinαcosα=0(α)在第四象限.答案07.已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tanα=.解析∵a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,∴3cosα-4sinα=0.∴tanα=34.答案348.已知cos2α+4sinαcosα+4sin2α=5,则tanα=.解析由题意知cos2α+4sinαcosα+4sin2αcos2α+sin2α=1+4tanα+4tan2α1+tan2α=5,整理得tan2α-4tanα+4=0,∴tanα=2.答案29.证明:cos4α-sin4α1+2sin(π-α)cos(π+α)=1+tanα1-tanα.证明左边=(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)cos2α+sin2α-2sinαcosα=(cosα+sinα)(cosα-sinα)(cosα-sinα)2=cosα+sinαcosα-sinα=cosαcosα+sinαcosαcosαcosα-sinαcosα=1+tanα1-tanα=右边,故原等式成立.10.导学号93774089已知sinθ+cosθ=-❑√105,(1)求1sinθ+1cosθ的值;(2)求tanθ的值.解(1)因为sinθ+cosθ=-❑√105,所以1+2sinθcosθ=25,即sinθcosθ=-310,所以1sinθ+1cosθ=sinθ+cosθsinθcosθ=2❑√103.(2)由(1)得sin2θ+cos2θsinθcosθ=-103,所以tan2θ+1tanθ=-103,即3tan2θ+10tanθ+3=0,所以tanθ=-3或tanθ=-13.B组能力提升1.已知α为第二象限角,sin(α+π3)=35,则sin(α+5π6)=()A.-45B.45C.-35D.35解析由sin(α+π3)=35,可得cos(π6-α)=35,于是sin(α+5π6)=sin(π6-α)=±❑√1-cos2(π6-α)=±45,又α为第二象限角,cos(π6-α)=35,所以π6-α是第四象限角,从而sin(π6-α)=-45.答案A2.化简❑√1-2sin4cos4的结果是()A.sin4+cos4B.sin4-cos4C.cos4-sin4D.-(sin4+cos4)解析先判断4是第几象限角,再比较sin4与cos4的大小.∵5π4<4<3π2,∴0>cos4>sin4,∴❑√1-2sin4cos4=❑√(sin4-cos4)2=|sin4-cos4|=cos4-sin4,故选C.答案C3.记cos(-80°)=k,那么tan100°=()A.❑√1-k2kB.-❑√1-k2kC.k❑√1-k2D.-k❑√1-k2解析因为sin80°=❑√1-cos280°=❑√1-cos2(-80°)=❑√1-k2,所以tan100°=-tan80°=-sin80°cos80°=-❑√1-k2k.答案B4.已知sinα=4-2mm+5,cosα=m-3m+5,α是第四象限角,则tanα=.解析由sin2α+cos2α=1,知(4-2mm+5)2+(m-3m+5)2=1,解得m=8或m=0.又α为第四象限角,则sinα<0,cosα>0,知m=8,则tanα=-125.答案-1255.已知tanα=2,则11-sinαcosα的值为.解析原式=sin2α+cos2αsin2α+cos2α-sinαcosα=tan2α+1tan2α+1-tanα=4+14+1-2=53.答案536.导学号93774090求证:sinx1+cosx−cosx1+sinx=2(sinx-cosx)1+sinx+cosx.证明方法一:左边=sinx+sin2x-cosx-cos2x(1+cosx)(1+sinx)=(sinx-cosx)(1+sinx+cosx)1+sinx+cosx+cosx·sinx=2(sinx-cosx)(1+sinx+cosx)1+sin2x+cos2x+2sinx+2cosx+2cosx·sinx=2(sinx-cosx)(1+sinx+cosx)(1+sinx+cosx)2=2(sinx-cosx)1+sinx+cosx=右边.方法二:左边=1+sinx+cosx1+sinx+cosx(sinx1+cosx-cosx1+sinx)=11+sinx+cosx[sinx(1+sinx+cosx)1+cosx−cosx(1+sinx+cosx)1+sinx]=11+sinx+cosx(sinx+sin2x1+cosx−cosx-cos2x1+sinx)=11+sinx+cosx(sinx+1-cosx-cosx-1+sinx)=2(sinx-cosx)1+sinx+cosx=右边.7.导学号93774091已知sinα,cosα是方程5x2-x+m=0的两个实根.(1)求m的值;(2)当α∈(0,π)时,求tan(3π-α)的值;(3)求sin3α+cos3α的值.解(1)∵sinα,cosα是5x2-x+m=0的两个实根,∴{sinα+cosα=15,sinαcosα=m5.又sin2α+cos2α=1,∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+2m5=125,解得m=-125.(2)∵m=-125,sinα+cosα>0,sinαcosα<0,∴α∈(π2,π).∴5x2-x-125=0,解得x=-35或x=45.∴sinα=45,cosα=-35.∴tan(3π-α)=-tanα=-sinαcosα=43.(3)sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=15×(1+1225)=37125.
