【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第3章三角恒等变换2.3两角和与差的正切函数学业分层测评北师大版必修4(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.等于()A．tan42°B．C.D．－【解析】原式＝tan(51°＋9°)＝tan60°＝.【答案】C2．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则∠C等于()A．B．C.D．【解析】tanC＝－tan(A＋B)＝－＝－＝，所以∠C＝.【答案】A3．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为()A．16B．2C．4D．8【解析】∵(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝1＋tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1＋(1－tan21°tan24°)tan(21°＋24°)＋tan21°tan24°＝1＋1－tan21°tan24°＋tan21°tan24°＝2.同理(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2.∴原式＝2×2＝4.【答案】C4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan等于()A．B．C.D．【解析】∵α＋＝(α＋β)－，∴tan＝tan＝＝＝.【答案】C5.的值应是()A．－1B．1C.D．－【解析】因为tan(10°＋50°)＝，所以tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°·tan10°·tan50°，所以原式＝＝－.【答案】D二、填空题6．若α＋β＝，则(1－tanα)(1－tanβ)＝________.【解析】(1－tanα)(1－tanβ)＝1－(tanα＋tanβ)＋tanα·tanβ.又tan(α＋β)＝tan＝－1＝，所以tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，所以(1－tanα)(1－tanβ)＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2.【答案】27．已知tanα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝________.【导学号：66470072】【解析】因为tanα＝<1，且α为锐角，所以0<α<.又因为sinβ＝<，且β为锐角，所以0<β<.所以0<α＋2β<.由sinβ＝，β为锐角，得cosβ＝，所以tanβ＝，tan(α＋β)＝＝.所以tan(α＋2β)＝＝＝1，故α＋2β＝.【答案】8．如图3－2－1，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A，B的横坐标分别为，，则tan(α＋β)的值为________．图3－2－1【解析】由条件，得cosα＝，cosβ＝，因为α，β为锐角，所以sinα＝，sinβ＝，所以tanα＝7，tanβ＝，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.【答案】－3三、解答题9．已知tan＝，(1)求tan的值；(2)求的值．【解】(1)因为tan＝，所以＝，所以2＋2tanα＝1－tanα，所以tanα＝－，所以tan＝＝＝·＝＝.(2)＝－＝tanα－＝－－＝－.10．已知tanα，tanβ是方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．【解】由题设知，tanα＋tanβ＝－，tanα·tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝＝－m，又Δ＝(2m－3)2－4m(m－2)≥0，∴4m2－12m＋9－4m2＋8m≥0，∴－4m＋9≥0，即m≤，∴－m≥－，∴－m≥－＝－，即tan(α＋β)≥－.因此，tan(α＋β)的最小值为－.[能力提升]1．设tanθ和tan是方程x2＋px＋q＝0的两个根，则p，q之间的关系是()A．p＋q＋1＝0B．p－q＋1＝0C．p＋q－1＝0D．p－q－1＝0【解析】∵tanθ＋tan＝－p，tanθ·tan＝q，＝θ＋，∴tan＝tan＝＝1，∴p－q＋1＝0.【答案】B2．已知sinα＝，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为()A．B．C.D．【解析】sinα＝，且α为锐角，则cosα＝，tanα＝，所以tan(α＋β)＝＝＝－1.又α＋β∈，故α＋β＝.【答案】B3．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)＝________.【解析】∵tan＝tan[(α＋β)－π]＝tan(α＋β)，∴tan(α＋β)＝tan＝＝＝1.【答案】14．是否存在锐角α和β，使得下列两式：(1)α＋2β＝π；(2)tantanβ＝2－同时成立．【解】假设存在符合题意的锐角α和β，由(1)知＋β＝，∴tan＝＝.由(2)知tantanβ＝2－，∴tan＋tanβ＝3－.∴tan，tanβ是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，得x1＝1，x2＝2－.∵0<α<，则0
