第三章三角恒等变形(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于()A．0B．C.D．1解析：sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin(15°＋75°)＝sin90°＝1.答案：D2．设向量a＝(1，cosθ)，b＝(－1,2cosθ)，若a⊥b，则cos2θ＝()A．－1B．0C.D．解析： a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝cos2θ＝0.答案：B3．在△ABC中，若tanA＝，tanB＝－2，则角C＝()A.B．C.D．解析： tan(A＋B)＝＝＝－1，∴A＋B＝π，∴C＝.答案：C4．已知：函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)，若对任意实数x都有f(x)＝f(－x)，则θ可以是()A.B．C.D．π解析：f(x)＝sin为偶函数，∴θ＋＝kπ＋(k∈Z)，∴θ＝kπ＋，当k取0时，θ＝.答案：B5．已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为()A.B．－C.D．－解析：设底角为α，则cos(π－2α)＝，cos2α＝－.又cos2α＝1－2sin2α，∴sinα＝.答案：C6．已知x∈，cos＝，则tan2x等于()A.B．－C.D．－解析：由已知得：sinx＝，又x∈，则cosx＝.所以tanx＝＝.tan2x＝＝－.答案：D7．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值等于()A．1B．－C.D．－解析：由题意知cosθ－sinθ＝，4·＝，即sinθcosθ＝.∴sinθ＋cosθ＝＝＝.∴sin2θ－cos2θ＝(sinθ＋cosθ)(sinθ－cosθ)＝×＝－.答案：B8．若sinα＋cosα＝tanα，则α的取值范围是()A.B．C.D．解析： tanα＝sinα＋cosα＝＝sin，又0<α<，∴<α＋<，∴1，故①错误；对于②，y＝cosx的减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，而sinx在这个区间上不小于0，故②错误；对于③，y＝cos2x＋cosx＝2－，当cosx＝－时，有最小值－；当cosx＝1时，有最大值2，且为偶函数，故③正确；对于④，y＝sin|x|是偶函数，其图像关于y轴对称，不是周期函数，故④错误．答案：①②④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知A(1,0)，B(0,1)，C(cosα，sinα)，且α∈(0，π)．(1)O为坐标原点，若|OA－OC|＝1，求角α的大小；(2)若AC·BC＝，求cos2α的值．解：(1) |OA－OC|＝1，∴(cosα－1)2＋sin2α＝1，∴cosα＝， 0<α<π，∴α＝.(2) AC·BC＝，∴(cosα－1，sinα)·(cosα，sinα...
