高中数学 第3章 三角恒等变形 1 同角三角函数的基本关系（1）练习 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP专享VIP免费

1同角三角函数的基本关系(1)课时跟踪检测一、选择题1．已知α是第四象限角，并且cosα＝，那么tanα的值等于()A．B．C．－D．－解析：∵α为第四象限角，且cosα＝，∴sinα＝－＝－＝－，∴tanα＝＝－.答案：D2．已知向量a＝(3,4)，b＝(sinθ，cosθ)，且a∥b，则tanα＝()A．B．C．－D．－解析：∵a∥b，∴3cosθ＝4sinθ，∴tanθ＝.答案：A3．下列等式中正确的是()A．sin2＋cos2＝B．若α∈(0,2π)，则一定有tanα＝C．sin＝±D．sinα＝tanα·cosα解析：同角的三角函数基本关系式中要求角是“同角”，且对于“任意角”都成立，所以A不正确；利用同角三角函数的基本关系时一定要注意其隐含的条件，对于B中cosα≠0，即α≠kπ＋(k∈Z)，因而B不正确；因为0＜＜，所以sin＞0，所以C不正确．答案：D4．已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，sin(105°＋α)的值为()A．B．C．－D．解析：∵(105°＋α)－(α－75°)＝180°，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)．又∵α为第四象限角且cos(α－75°)＜0，∴α－75°为第三象限角，∴原式＝＝.答案：A5．某同学在做老师布置的课后作业时，遇到某一题是这样写的，已知α是第一象限角，且sinα＝________cosα，则tanα＝________.由于横线处的纸张破损，现只知道sinα>cosα，则tanα的值可能为()A．－1B．C．D．解析：由α是第一象限角，且sinα>cosα>0，∴tanα＝>1.答案：B6．函数y＝－sin2x－3cosx的最小值是()A．－B．－2C．D．－解析：y＝－(1－cos2x)－3cosx＝cos2x－3cosx＋＝2－2，当cosx＝1时，ymin＝2－2＝－.答案：A二、填空题7．若sinα＋cosα＝，则tanα＋的值为________．解析：解法一：∵sinα＋cosα＝，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝2，∴sinαcosα＝，∴tanα＋＝＋＝＝2.解法二：∵sinα＋cosα＝，∴α＝＋2kπ，k∈Z，∴tanα＋＝2.答案：28．已知α是第三象限角，tanα＝1，则sinαcosα＝________.解析：解法一：∵tanα＝＝1，∴sinα＝cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴2sin2α＝1，又α为第三象限角，∴sinα＝－，cosα＝－.∴sinαcosα＝·＝.解法二：∵α是第三象限角且tanα＝1，∴α＝π＋2kπ，k∈Z.∴sinαcosα＝sinπcosπ＝.答案：9．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为________．解析：由sinα＝得cos2α＝1－sin2α＝.∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝－＝－.答案：－三、简答题10．若sinα与cosα是方程x2－x＋n＝0的两根，求n及α的值．解：由题设知②2－2×③，得2－2n＝1，即n＝.∴解得∴α＝2kπ＋，k∈Z.11．已知sinθ＋cosθ＝－.求：(1)＋的值；(2)tanθ的值．解：(1)因为sinθ＋cosθ＝－，所以1＋2sinθcosθ＝，sinθcosθ＝－.所以＋＝＝.(2)由(1)得＝－，所以＝－，即3tan2θ＋10tanθ＋3＝0，所以tanθ＝－3或tanθ＝－.12．(1)已知tanα＝3，求sin2α＋cos2α的值；(2)已知＝1，求的值．解：(1)sin2α＋cos2α＝＝＝＝.(2)由＝1得tanα＝2，＝＝＝＝.13．已知sinθ，cosθ是方程6x2－6ax＋1－4a＝0的两根．(1)求a的值；(2)若θ∈(0，π)，求sinθ－cosθ，tanθ的值．解：(1)sinθ＋cosθ＝a，sinθcosθ＝，且Δ≥0，∴(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝a2，∴1＋＝a2，解得a＝或a＝－2(舍)．(2)由(1)知sinθ＋cosθ＝＞0，sinθcosθ＝－＜0，且θ∈(0，π)，∴＜θ＜π.sinθ－cosθ＝＝.∵sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝－，θ∈(0，π)．∴sinθ＝，cosθ＝，tanθ＝＝－.