3二倍角的三角函数(1)课时跟踪检测一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝，则cos2α＝()A.B．C．－D．－解析：由公式cos2α＝1－2sin2α可得cos2α＝1－＝，故选B.答案：B2．函数f(x)＝3sincos＋4cos2(x∈R)的最大值等于()A．5B．C.D．2解析：∵f(x)＝sinx＋4×＝sinx＋2cosx＋2＝＋2＝sin(x＋θ)＋2，其中cosθ＝，sinθ＝，∴f(x)的最大值等于＋2＝.答案：B3．(2017·全国卷Ⅱ)已知sinα－cosα＝，则sin2α＝()A．－B．－C.D．解析：∵sinα－cosα＝，∴sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝，∴sin2α＝1－＝－.答案：A4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ的值为()A．－B．－C.D．解析：由题意知，tanθ＝2，∴cos2θ＝＝＝＝－.答案：B5．函数y＝cos2x－sinxcosx的最大值是()A.B．C.D．1解析：y＝cos2x－sinxcosx＝－sin2x＝cos＋，∴最大值为.答案：B6．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，则|a－b|＝()A.B．C.D．1解析：根据题的条件，可知O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，因为cos2α＝2cos2α－1＝2·2－1＝，解得a2＝，即|a|＝，所以|a－b|＝|a－2a|＝，故选B.答案：B二、填空题7．已知tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ＝________.解析：原式＝cos2θ＋sinθcosθ＝＝＝.答案：8．设α为△ABC的内角，且tanα＝－，则sin2α＝________.解析：∵α为△ABC的内角，tanα＝－，∴＜α＜π，∴sinα＝，cosα＝－.sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.答案：－9．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，且sinAcosA＝，则此三角形的形状是________．解析：由sinAcosA＝，得sin2A＝，即sin2A＝，∴2A＝60°或2A＝120°，∴A＝30°或A＝60°.又由tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)，∴tan(A＋B)＝－，∴A＋B＝120°.当A＝30°时，B＝120°－30°＝90°，此时，tanB无意义，与题设矛盾．当A＝60°时，B＝120°－60°＝60°，C＝180°－(60°＋60°)＝60°.故三角形ABC为等边三角形．答案：等边三角形三、解答题10．已知sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈.(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由sinα＋cosα＝得，1＋sin2α＝，∴sin2α＝，∵α∈，∴2α∈，∴cos2α＝，∴tan2α＝＝.(2)∵β∈，∴β－∈，∴cos＝.∵sin2β＝cos(2β－)＝1－2sin2＝，cos2β＝sin＝－sin(2β－)＝－2sin·cos＝－.又∵α∈，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα＝＝＝＝和sinα＋cosα＝联立解得，sinα＝，cosα＝.∴cos(α＋2β)＝cosα·cos2β－sinα·sin2β＝×－×＝－.11．设T＝.(1)已知sin(π－θ)＝，θ为钝角，求T的值；(2)已知cos＝m，且<θ≤，求T的值．解：(1)由sin＝，得sinθ＝，∵θ为钝角，∴cosθ＝－，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－，T＝＝.(2)由cos＝m得sinθ＝m，∵<θ≤，∴cosθ＝－，T＝＝|sinθ＋cosθ|，∵<θ≤时，sinθ＋cosθ>0，∴T＝sinθ＋cosθ＝m－.12．已知函数f(x)＝2cos2－sinx.(1)求函数f(x)的值域；(2)若α为第二象限角，且f＝，求的值．解：f(x)＝1＋cosx－sinx＝2＋1＝2cos＋1，(1)f(x)的值域为[－1,3]．(2)f＝2cos＋1＝，cosα＝－.∴sinα＝.cos2α＝2cos2α－1＝－，sin2α＝2××＝－.∴原式＝＝＝＝－.13．(2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．解：(1)因为f(x)＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin＋.因为x∈，所以2x－∈.要使得f(x)在上的最大值为，即sin在上的最大值为1.所以2m－≥，即m≥.所以m的最小值为.
