第30课时二倍角的正弦、余弦和正切课时目标掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，以及公式的变形；能灵活运用公式及其各种变形解题．识记强化1．二倍角正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝2．变形形式sinα＝2sincos，cosα＝cos2－sin2＝2cos2－1＝1－2sin2tanα＝1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝，sin2α＝课时作业一、选择题1．已知cosx＝－，x为第二象限角，那么sin2x＝()A．－B．±C．－D.答案：C解析：因为cosx＝－，x为第二象限角，所以sinx＝，所以sin2x＝2sinxcosx＝2××＝－，故选C.2．已知α为锐角，且满足cos2α＝sinα，则α等于()A．30°或270°B．45°C．60°D．30°答案：D解析：因为cos2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sinα－1＝0，即(sinα＋1)(2sinα－1)＝0.因为α为锐角，所以sinα＝，所以α＝30°.故选D.3．已知sinα＝，且α∈，那么的值等于()A．－B．－C.D.答案：B解析：＝＝＝2tanα，∵sinα＝，α∈，∴cosα＝－，tanα＝－，2tanα＝－，故选B.4．化简等于()A．sin4＋cos4B．－sin4－cos4C．sin4D．cos4答案：B解析：＝＝＝|sin4＋cos4|∵4∈(π，)，则sin4＋cos4<0故＝－sin4－cos4.5．已知α为第三象限角，且cosα＝－，则tan2α的值为()A．－B.C．－D．－2答案：A解析：由题意可得，sinα＝－＝－，∴tanα＝2，∴tan2α＝＝－，故选A.6．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值为()A．1＋B.－1C.D．2答案：A解析：y＝2sinx(sinx＋cosx)＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＋1＝sin(2x－)＋1，∴y的最大值为＋1.二、填空题7．(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝________.答案：－解析：(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝cos275°－sin275°＝cos150°＝－sin60°＝－.8．若θ∈(0，π)，且sin2θ＝－，则cosθ－sinθ＝________.答案：－解析：∵sin2θ＝－，θ∈(0，π)，∴sinθ＞0，cosθ＜0，cosθ－sinθ＜0，又(cosθ－sinθ)2＝1－sin2θ＝，∴cosθ－sinθ＝－.9．已知θ∈(0，π)，且sin＝，则tan2θ＝________.答案：－解析：由sin＝，得(sinθ－cosθ)＝⇒sinθ－cosθ＝.解方程组，得或.因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，所以不合题意，舍去，所以tanθ＝，所以tan2θ＝＝＝－.三、解答题10．已知tanα＝，tanβ＝，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．解：tan2β＝＝，tan(α＋2β)＝＝1.因为α，β均为锐角，且tanα＝<1，tanβ＝<1，所以α，β∈，所以α＋2β∈，所以α＋2β＝.11．已知函数f(x)＝2cos2x＋4sincoscosx.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的值域．解：(1)f(x)＝2cos2x＋4sincoscosx＝2cos2x＋2sinxcosx＝cos2x＋1＋sin2x＝2sin＋1，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为x∈，所以2x＋∈，所以sin∈，所以f(x)的值域为[0,3]．能力提升12．已知sin－2cos＝0.(1)求tanx的值；(2)求的值．解：(1)由sin－2cos＝0，知cos≠0，∴tan＝2，∴tanx＝＝＝－.(2)由(1)，知tanx＝－，∴＝＝＝＝×＝×＝.13．已知函数f(x)＝－sin(2x＋)＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解析：(1)f(x)＝－sin(2x＋)＋6sinxcosx－2cos2x＋1＝－sin2xcos－cos2x·sin＋3sin2x－cos2x＝2(sin2x－cos2x)＝2sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f(0)＝－2，f＝2，f()＝2.故函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－2.
