高中数学 第2章 解析几何初步 2-1-5 平面直角坐标系中的距离公式随堂巩固验收 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题VIP免费

1．5平面直角坐标系中的距离公式1．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于()A．3B．7C.D.[解析]在3x＋4y－2＝0上取一点，其到6x＋8y－5＝0的距离即为两平行线间的距离，d＝＝.[答案]C2．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为()A．1B．－1C.D．±[解析]由题意知＝1，即|a|＝，∴a＝±.[答案]D3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是()A.B.C.D．3[解析]点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为＝.[答案]B4．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为________．[解析]由题意得＝5，解得a＝1或a＝－5.[答案]1或－5与对称有关的最值问题在直线l上找一点P到直线异侧两定点A、B的距离之和最小，则点P必在直线AB上，所以要将l同侧的点利用对称转化为异侧的点．在直线l上找一点P到直线同侧两点A、B的距离之差最大，则点P必在线段AB(或BA)的延长线上，所以要将l异侧的点利用对称转化为同侧的点．【示例】已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．[思路分析]数列结合，利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边求解．[解](1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，则解得故A′(－2,8)．因为P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为(－2,3)．(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，解得故所求的点P的坐标为(12,10)．[题后反思](1)中心对称①两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1,2b－y1)，即P为线段P1P2的中点．②两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上，必有l1∥l2，且P到l1、l2的距离相等．(2)轴对称两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上．[针对训练]某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P使之到A，B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|PA|＋|PB|为多少？[解]如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P)在直线l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|.因此，供水站只能在点P处，才能取得最小值．设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，即解得即A′(3,6)．所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0，解方程组得所以P点的坐标为.故供水站应建在点P处，此时|PA|＋|PB|＝|A′B|＝＝.