课时作业(八)空间中直线与直线之间的位置关系A组基础巩固1．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A．2对B．3对C．6对D．12对解析：如图所示，在长方体AC1中，与对角线AC1成异面直线位置关系的是：A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC，所以组成6对异面直线．答案：C2．已知异面直线a与b满足a⊂α，b⊂β，且α∩β＝c，则c与a，b的位置关系一定是()A．c与a，b都相交B．c至少与a，b中的一条相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条平行解析： a⊂α，c⊂α，∴a与c相交或平行．同理，b与c相交或平行．若c∥a，c∥b，则a∥b，这与a，b异面矛盾．∴a，b不能都与c平行，即直线a，b中至少有一条与c相交．答案：B3．下面四种说法：①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c，其中正确的个数是()A．4B．3C．2D．1解析：若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故①不对．若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故②不对．若a⊥b，b⊥c，则a、c平行、相交、异面均有可能，故④不对．③正确．答案：D4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是()A．0<θ≤B．0<θ≤C．0≤θ≤D．0<θ＜解析：由于CD1∥BA1，CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角θ为∠D1CP，当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0增大到，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0<θ≤.答案：A5．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE，B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°解析：由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．综上所述，故选C.答案：C16．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的为()A．①②B．③④C．②③D．①③解析：根据正方体平面展开图还原出原来的正方体，如图所示，由图可知AB⊥EF，AB∥CM，EF与MN是异面直线，MN⊥CD，只有①③正确．答案：D7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：本题考查两条异面直线所成的角．连接AD1，D1E，因为AD1∥BC1，所以∠D1AE是异面直线BC1与AE所成的角．在△D1AE中，可以求得AD1＝，AE＝，D1E＝，所以△D1AE为等腰三角形，从而求得∠D1AE的余弦值为，故选B.答案：B8.已知a，b，c是空间中的三条直线，a∥b，且a与c的夹角为θ，则b与c的夹角为________．解析：本题考查空间中直线的夹角问题．因为a∥b，所以a，b与c的夹角相等．因为a与c的夹角为θ，所以b与c的夹角也为θ.答案：θ9.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，求异面直线AB1和BM所成的角为________．(正三棱柱是指底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱)解析：如图，取BB1的中点N，AB的中点D，连接C1N，C1D，ND，因为ND∥AB1，BM∥C1N，所以∠C1ND即为所求的角．设棱长为2，则可求得ND＝AB1＝，C1N＝，C1D＝，在△C1ND中，C1N2＋ND2＝C1D2，故∠C1ND＝90°，即异面直线AB1和BM所成的角为90°.答案：90°210．如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝.(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求的值．解析：(1)证明： AA′∩BB′＝O，且＝＝，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2) A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′，且＝＝，∴＝2＝.B组能力提...
