江苏省盱眙县都梁中学高中数学第2章平面解析几何初步2.2.3圆与圆的位置关系课堂精练苏教版必修21．两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)当a＝__________时，两圆外切；(2)当a＝__________时，两圆相内切．2．(1)圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线方程为__________．(2)已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是__________．3．已知点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则PQ的最小值是__________．4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为，则a＝__________.5．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．6．圆x2＋y2＝1和圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的公共弦所在直线被圆4x2＋4y2＝25所截，则截得的弦长为__________．7．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．8．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．9.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，圆C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，圆C2始终平分圆C1的周长，求圆C2的面积最小时圆的方程．1参考答案1．(1)－5或2(2)－2或－1∵圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1(a，－2)，r1＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4，圆心C2(－1，a)，半径r2＝2.当时，两圆外切，此时可解得a＝－5或2；当时，两圆内切，此时可解得a＝－1或－2.2．(1)x＋y－1＝0(2)x＋3y＝0(1)由题意知，两圆的连心线即为AB的垂直平分线．由已知得两圆圆心分别为(1,0)，(－1,2)，∴由两点式方程得，即x＋y－1＝0.(2)两圆方程联立消去二次项得到的x、y的二元一次方程即为直线AB的方程．设点P(x，y)为交点弦上任意一点，则相减得2x－1＋6y－9＝10－20，即x＋3y＝0.3．由x2＋y2－8x－4y＋11＝0得(x－4)2＋(y－2)2＝9.∴圆心C1为(4,2)，半径r1＝3；由x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0得(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，∴圆心C2为(－2，－1)，半径r2＝2.∴4．1依题意，画出两圆的位置如图，公共弦为AB，交y轴于点C，连结OA，则OA＝2.两圆方程相减，得2ay＝2，解得，∴.又公共弦长为，2∴.于是，由Rt△AOC可得OC2＝AO2－AC2，即，整理得a2＝1.又a＞0，∴a＝1.5．2x－y＝0圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，可知圆心为(1,2)，半径为1.设直线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离为，故有：，解得k＝2.故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0.6.由两圆方程可得其公共弦方程为x＋y－1＝0，原点O到该直线的距离，而半径，故弦长.7．解法一：联立两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.再由联立得两交点坐标A(－1,2)、B(5，－6)．∵所求圆以AB为直径，∴圆心是AB的中心点M(2，－2)，圆的半径为.于是圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.解法二：设所求圆的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ为3参数)，得圆心C.∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，∴.解得∴所求圆的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.8．(1)证明：将圆的方程整理，得(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，此方程表示过圆x2＋y2＝20与直线－4x＋2y＋20＝0的交点的圆系．解方程组得所以该圆恒过定点(4，－2)．(2)解：圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5a2－20a＋20＝5(a－2)2.若两圆外切，则r1＋r2＝O1O2，即，整理，得，所以，解得.若两圆内切，则|r1－r2|＝O1O2，即，整理，得，所以.解得或(舍去)．综上所述，.9.解：将两圆方程相减，得到两圆相交弦所在直线方程为2(1＋a)x＋2(1＋b)y－a2－1＝0.由于圆C2始终平分圆C1的周长，因此C1(－1，－1)必在相交弦所在直线上，∴2(1＋a)×(－1)＋2(1＋b)×(－1)－a2－1＝0，4即.由圆C2方程，得，∴S＝πr2＝π(1＋b2).∴当a＝－1时，S取最小值5π，此时b＝－2，∴圆C2的方程为x2＋y2＋2x＋4y＝0.5
