2.2.1第二课时圆的一般方程[学业水平训练]1．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．解析：由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得，解得，所以点B的坐标为(2，－3)．答案：(2，－3)2．过点P(1,2)的直线l平分圆C：x2＋y2＋4x＋6y＋1＝0的周长，则直线l的斜率为________．解析：过点P(1,2)的直线l平分圆C的周长，则直线l过圆心(－2，－3)，则直线l的斜率为k＝＝.答案：3．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积是________．解析：将x2＋y2＋kx＋2y－4＝0化为(x＋)2＋(y＋1)2＝5＋，故圆心坐标是(－，－1)，由题意知，直线x－y＋1＝0过圆心，故－＋1＋1＝0，解得k＝4，此时圆的半径为3，圆的面积是9π.答案：9π4．点A(1,0)在圆x2＋y2－2ax＋a2＋3a－3＝0上，则a的值为________．解析： 点A在圆上，∴a应满足的条件为，即，解得，∴a＝－2.答案：－25．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心的坐标是________．解析：将x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为(x＋)2＋(y＋1)2＝1－k2，可知当k＝0时，圆的半径最大，即圆面积最大，此时圆心坐标是(0，－1)．答案：(0，－1)6．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．解析：点(3,5)在圆内，最长弦AC即为该圆直径，∴AC＝10，最短弦BD⊥AC，∴BD＝4，S四边形ABCD＝AC·BD＝20.答案：207．试判断A(1,2)，B(0,1)，C(7，－6)，D(4,3)四点是否在同一个圆上．解：线段AB，BC的斜率分别是kAB＝1，kBC＝－1，得kAB≠kBC，则A，B，C三点不共线，设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为A，B，C三点在此圆上，所以，解得，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－8x＋4y－5＝0，将D点坐标(4,3)代入方程，得42＋32－8×4＋4×3－5＝0，即点D在此圆上，故A，B，C，D四点在同一个圆上．8．一圆经过A(4,2)和B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2，求该圆的方程．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.同理圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E，由题意知－D－E＝2.①又A，B在圆上，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0，③由①②③联立方程组解得D＝－2，E＝0，F＝－12.所以，所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.[高考水平训练]1．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且PA＝1，则P点的坐标(x，y)满足的方程是________．解析：由题意知，圆心(1,0)到P点的距离为，所以点P在以(1,0)为圆心，以为半径的圆上，所以点P的坐标(x，y)满足的方程是(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝22．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝PA2＋PB2，则d的最大值及最小值分别为________、________.解析：如图，设P点坐标为(x0，y0)，∴d＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2＝2PO2＋2.问题转化为求P点到原点O距离的最值， O在圆外，∴OPmax＝CO＋1＝5＋1＝6，POmin＝CO－1＝5－1＝4.∴dmax＝2×62＋2＝74，dmin＝2×42＋2＝34.答案：74343．已知曲线C：(1＋a)x2＋(1＋a)y2－4x＋8ay＝0，(1)当a取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值．解：(1)当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线；当a≠－1时，2＋2＝表示圆．(2)证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a(x2＋y2＋8y)＝0.对于a取任何值，上式成立，则有解得或∴C过定点A(0,0)，B.(3)由(2)曲线C过定点A、B，在这些圆中，当以AB为直径时，圆的面积最小(其余不以AB为直径的圆，AB为弦，直径大于AB的长，圆的面积也大)，从而得以AB为直径圆的方程：2＋2＝，∴＝，＝，＝，解得a＝.4．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的...
