2.2.1第一课时圆的标准方程[学业水平训练]1．圆心为C(6,5)，且过点B(3,6)的圆的标准方程为________．解析：由圆心为C(6,5)，可设圆的标准方程为(x－6)2＋(y－5)2＝r2，又该圆过点B(3,6)，则(3－6)2＋(6－5)2＝10，故所求圆的标准方程为(x－6)2＋(y－5)2＝10.答案：(x－6)2＋(y－5)2＝102．已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，P是圆C上任意一点，则AP的最小值是________．解析：由于82＋(－6)2＝100＞25，故点A在圆外，从而AP的最小值为－5＝10－5＝5.答案：53．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为________．解析：已知圆心坐标是(－2,0)，其关于原点对称的点是(2,0)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.答案：(x－2)2＋y2＝54．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．则此圆的方程是________．解析：设直径的两个端点为M(a,0)，N(0，b)，则＝2⇒a＝4，＝－3⇒b＝－6.所以M(4,0)，N(0，－6)．因为圆心为(2，－3)，故r＝＝.所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝135．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程是________．解析：将直线方程整理为(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，可知直线恒过点(－1,2)，从而所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.答案：(x＋1)2＋(y－2)2＝56．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．解析：由题意知l过圆心(1,2)，由数形结合得0≤k≤2.答案：[0,2]7．已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．(1)若点M(6,9)在圆上，求半径a；(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．解：(1)∵点M(6,9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.又a＞0，∴a＝.(2)∵PC＝＝，QC＝＝3，PC＞QC，故点P在圆外，点Q在圆内，∴3＜a＜.8．(2014·临沂高一检测)一圆过原点O和点P(1,3)，圆心在直线y＝x＋2上，求此圆的方程．解：法一：∵圆心在直线y＝x＋2上，∴设圆心坐标为(a，a＋2)，则圆的方程为(x－a)2＋(y－a－2)2＝r2，∵点O(0,0)和P(1,3)在圆上，∴解得∴所求的圆的方程为(x＋)2＋(y－)2＝.法二：由题意，圆的弦OP的斜率为3，中点坐标为(，)，∴弦OP的垂直平分线方程为y－＝－(x－)，即x＋3y－5＝0，∵圆心在直线y＝x＋2上，且圆心在弦OP的垂直平分线上，∴由解得即圆心坐标为C(－，)，又圆的半径r＝OC＝＝，∴所求的圆的方程为(x＋)2＋(y－)2＝.[高考水平训练]1．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则C上各点到l的距离的最小值为________．解析：由图可知：过圆心作直线l：x－y＋4＝0的垂线，则AD长即为所求．∵C：(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心为C(1,1)，半径为，点C到直线l：x－y＋4＝0的距离为d＝＝2，∴AD＝CD－AC＝2－＝，故C上各点到l的距离的最小值为.答案：2．设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________．解析：表示点P(x，y)到定点(1,1)的距离，由于点P是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，圆心C(0，－4)与定点的距离为＝，故的最大值为＋2.答案：＋23．已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．解：由题设AC＝r＝5，AB＝8，∴AO＝4，在Rt△AOC中，OC＝＝＝3.如图所示：设点C坐标为(a,0)，则OC＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.4．已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)，且过定点P(4,2)．(1)求圆C的方程；(2)当x0为何值时，圆C的面积最小，并求出此时圆C的标准方程．解：(1)由题意，得圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．∵圆C过定点P(4,2)，∴(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)．∴r2＝2x－12x0＋20.∴圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20.(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.
