章末综合测评(二)平面向量(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·淮北高一检测)化简AC－BD＋CD－AB得()A．ABB．DAC.BCD．0【解析】AC－BD＋CD－AB＝AC＋CD－(AB＋BD)＝AD－AD＝0.【答案】D2．已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是()A．a·b＝1B．a2＝b2C．a∥b⇒a＝bD．a·b＝0【解析】因为a，b都是单位向量，所以|a|＝|b|＝1，所以|a|2＝|b|2，即a2＝b2.【答案】B3．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量AB＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·AC＝2，则n·BC等于()A．－2B．2C．0D．2或－2【解析】因为n·AB＝n·(AC－BC)＝n·AC－n·BC.又n·AB＝(1，－1)·(1,1)＝1－1＝0，所以n·BC＝n·AC＝2.【答案】B4．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则()A．AD＝－AB＋ACB.AD＝AB－ACC.AD＝AB＋ACD.AD＝AB－AC【解析】AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝AC＋(AC－AB)＝AC－AB＝－AB＋AC.故选A．【答案】A5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为()A．3B．－3C．0D．2【解析】由原式可得解得∴x－y＝3.【答案】A6．设向量a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，用a，b作基底可将c表示为c＝pa＋qb，则实数p，q的值为()A．p＝4，q＝1B．p＝1，q＝4C．p＝0，q＝4D．p＝1，q＝－4【解析】 c＝(3，－2)＝pa＋qb＝(－p＋q,2p－q)，∴解得【答案】B7．(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝()A．－a2B．－a2C.a2D．a2【解析】由已知条件得BD·CD＝BD·BA＝a·acos30°＝a2，故选D.【答案】D8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为()【导学号：66470061】A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】因为c⊥a，所以c·a＝0，即(a＋b)·a＝0，所以a·b＝－a2＝－1.设a·b的夹角为θ，所以cosθ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝120°.【答案】C9．数轴上点A，B，C的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是()A．AB的坐标是2B．CA＝－3ABC.CB的坐标是4D．BC＝2AB【解析】答案C不正确．故选C.【答案】C10．设0≤θ<2π，已知两个向量OP1＝(cosθ，sinθ)，OP2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2长度的最大值为()A．B．C．3D．2【解析】因为P1P2＝OP2－OP1＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，所以|P1P2|＝＝≤3.【答案】C11．(2016·蜀山高一检测)如图1所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA＋PB)·PC的最小值为()图1A．2B．0C．－1D．－2【解析】由平行四边形法则得PA＋PB＝2PO，故(PA＋PB)·PC＝2PO·PC，又|PC|＝2－|PO|且PO·PC反向，设|PO|＝t(0≤t≤2)，则(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]． 0≤t≤2，∴当t＝1时，(PA＋PB)·PC的最小值为－2.【答案】D12．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于()A．2B．4C．5D．10【解析】 PA＝CA－CP，∴|PA|2＝CA2－2CP·CA＋CP2. PB＝CB－CP，∴|PB|2＝CB2－2CP·CB＋CP2，∴|PA|2＋|PB|2＝(CA2＋CB2)－2CP·(CA＋CB)＋2CP2＝AB2－2CP·2CD＋2CP2.又AB2＝16CP2，CD＝2CP，代入上式整理得|PA|2＋|PB|2＝10|CP|2，故所求值为10.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．(2015·湖北高考)已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝________.【解析】因为OA⊥AB，所以OA·AB＝OA·(OB－OA)＝OA·OB－OA2＝0，所以OA·OB＝OA2＝|OA|2＝9，即OA·OB＝9.【答案】914．有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝与水速成________角的方向行驶．【解析】如图，OA为水速，OC是船行驶路程最短的情形，OB是船行驶的速度，不难知道∠AOB＝135°.【答案】135°15．(2015·湖南高考改编)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则|PA＋PB＋PC|的最大值为________．【解析】法一：AC为Rt△ABC的斜边，则AC为圆x2＋y2＝1的一条直径，故AC必经过原点，如...
