【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章平面向量3.2平面向量基本定理学业分层测评北师大版必修4(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．以下选项中，a与b不一定共线的是()A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2【解析】只有C选项不一定共线．【答案】C2．(2016·桂林高一检测)如图2－3－12，▱ABCD中，E是BC的中点，若AB＝a，AD＝b，则DE＝()图2－3－12A．a－bB．a＋bC．a＋bD．a－b【解析】因为E是BC的中点，所以CE＝CB＝－AD＝－b，所以DE＝DC＋CE＝a－b.【答案】D3．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2(λ≠－1)，则OP等于()【导学号：66470049】A．a＋λbB．λa＋(1－λ)bC．λa＋bD．a＋b【解析】 P1P＝λPP2，∴OP－OP1＝λ(OP2－OP)，∴(1＋λ)OP＝OP1＋λOP2，∴OP＝OP1＋OP2＝a＋b.【答案】D4.如图2－3－13，在△ABC中，D，E分别是AC，AB边上的点，＝＝，记BC＝a，CA＝b，若DE＝λa＋μb，则λ＋μ＝()图2－3－13A．0B．C.D．1【解析】因为AE＝AB＝(CB－CA)＝(－a－b)，AD＝AC＝－b，所以DE＝AE－AD＝－a－b＋b＝－a＋b，又DE＝λa＋μb，a与b不共线，所以λ＝－，μ＝，λ＋μ＝0.【答案】A5.(2016·洛南高一检测)若D点在三角形ABC的边BC上，且CD＝4DB＝rAB＋sAC，则3r＋s的值为()图2－3－14A．B．C.D．【解析】 CD＝4DB＝rAB＋sAC，∴CD＝CB＝(AB－AC)＝rAB＋sAC，∴r＝，s＝－，∴3r＋s＝－＝.【答案】C二、填空题6．(2016·西安高一检测)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【解析】由DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，则λ1＋λ2的值为.【答案】7．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．【解析】当a∥b时，设a＝mb，则有e1＋2e2＝m(λe1＋e2)，即e1＋2e2＝mλe1＋me2，所以解得λ＝，即当λ＝时，a∥b.又a与b是一组基底，所以a与b不共线，所以λ≠.【答案】∪8．已知e1，e2是平面内所有向量的一组基底，又a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，c＝－e1＋8e2，若用a，b作为基底表示向量c，则c＝________.【解析】设c＝λa＋μb，于是－e1＋8e2＝λ(e1＋2e2)＋μ(2e1－e2)，整理得－e1＋8e2＝(λ＋2μ)e1＋(2λ－μ)e2，因为e1，e2是平面内所有向量的一组基底，所以解得λ＝3，μ＝－2，所以c＝3a－2b.【答案】3a－2b三、解答题9.(2016·合肥高一检测)如图2－3－15，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.图2－3－15【解】因为AC＝BA，所以BC＝2BA＝2(OA－OB)，所以OC＝OB＋BC＝b＋2(a－b)＝2a－b，因为DB＝OB，所以OD＝OB，所以DC＝OC－OD＝2a－b－b＝2a－b.10.如图2－3－16所示，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M，N，D三点共线．图2－3－16【证明】设AB＝e1，AD＝e2，则BC＝AD＝e2. BN＝e2，BM＝AB＝e1.∴MN＝BN－BM＝e2－e1.又 MD＝AD－AM＝e2－e1＝3＝3MN.∴向量MN与MD共线，又M是公共点，故M，N，D三点共线．[能力提升]1．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直【解析】如图． AD＝AB＋BD＝AB＋BC，BE＝BC＋CE＝BC＋CA，CF＝CB＋BF＝CB＋BA，∴AD＋BE＋CF＝＋＋＝BC＋CB＝－BC.【答案】A2.(2016·南宁高一检测)如图2－3－17，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为()【导学号：66470050】图2－3－17A．1B．C．D．3【解析】 AP＝AB＋BP，又B，P，N三点共线．∴存在λ，使BP＝λBN.∴BP＝λBN＝λ(BA＋AN)＝－λAB＋λAC.∴AP＝AB＋BP＝(1－λ)AB＋λAC.又 AP＝mAB＋AC，∴∴λ＝，m＝1－＝.【答案】C3．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若EF＝mAB＋nAD(m，n∈R)，则的值为________．【解析】取BC的中点M，连接DM，交AC于N. 平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与...
