高中数学 第2章 平面向量 2.5 向量的应用课堂导学 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

高中数学第2章平面向量2.5向量的应用课堂导学苏教版必修4三点剖析1.数学问题的向量方法【例1】如右图平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2.求对角线AC的长.思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.解：设=a，=b，则=a-b，=a+b.而||=|a-b|=∴||2=5-2a·b=4（*）又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b.由（*）得2a·b=1，∴||2=6,∴||=,即=.温馨提示在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.2．物理问题中的向量方法【例2】如图甲所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：甲(1)|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；（2）当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围.思路分析：本题主要是利用向量加法的平行四边形法则解决物理问题.乙解：（1）如图乙所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G=F1+F2.解直角三角形得|F1|=当θ从0°趋向于90°时，|F1|、|F2|皆逐渐增大.（2）令|F1|=≤2|G|，得cosθ≥,又0°≤θ<90°,∴0°≤θ≤60°.温馨提示在解决力的合成、力的分解问题时，一般是利用向量的平行四边形法则解决.3.向量方法的综合应用【例3】已知两恒力F1（3，4）、F2（6，-5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）.试求：（1）F1，F2分别对质点所做的功；（2）F1，F2的合力F对质点所做的功.思路分析：本题利用向量数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入F·s公式即可.解：=（7，0）-（20，15）=（-13，-15）.（1）W1=F1·=（3，4）·（-13，-15）=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦),W2=F2·=（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).（2）W=F·=（F1+F2）·=［(3,4)+(6,-5)］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).温馨提示力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=F·s，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.【例4】△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P.求：AP∶PM的值.思路分析：待定系数法求定比的问题.解：设=e1,=e2.则=+=-3e2-e1,=2e1+e2. A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在实数λ，μ分别使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2.故=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.而=+=2e1+3e2.由基本定理得解得即=.故AP∶PM=4∶1.温馨提示在解决有关定比问题时，字母顺序易出错，解决本题的关键是选择适当的一对基底，选不好基底，会使题目进入误区.各个击破类题演练1已知：在△ABC中，=a=(x1,y1),=b=(x2,y2).求证：△ABC的面积S=|x2y1-x1y2|.证明：由S△ABC=|a|·|b|sinA=====|x2y1-x1y2|.变式提升1如图，O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足=++，求证：⊥.证明： =-,=-=(++)-=+,∴·=（-）·（+）=||2-||2. O为外心，∴||=||，即·=0，⊥.类题演练2在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°,60°,如图，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.解：作ABCB，使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,||=||cos30°=1503（N），||=||sin30°=150(N),||=||=150(N).答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.变式提升2某人在静水中游泳，速度为千米/时，水流速度为4千米/时.（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向游？速度是多少？（2）他必须往哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际速度是多少？解：（1）如图，水流速度v1=4km/h,游泳速度v2=km/h.设合速度v与v1所成角为θ，于是tanθ=，∴θ=60°.|v|==8km/h.（2）如图，v=，sinθ=，θ≈35.26°,则方向为与水流方向成125.26°的角.实际速度是km/h.类题演练3如图所示，求两个力f1、f2的合力f的大小和方向（精确到一位小数）.解：设f1=(a1,a2),f2=(b1,b2),则a1=300cos30°=259.8,a2=300sin30°=150,b1=-200cos45°=-141.4,b2=200sin45°=141...