2.5平面向量应用举例A级：基础巩固练一、选择题1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A．BD＝CEB．BD与CE共线C．BE＝BCD．DE与BC共线答案D解析 D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，即DE与BC共线．2．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，AO＝(AB＋AC)，且|OA|＝|AB|，则BA·BC为()A．1B．C．－1D．－答案A解析由题意知，O为BC的中点，且∠ABC＝60°，|BC|＝2，|AB|＝1，∴BA·BC＝1×2×＝1.3．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则人骑自行车逆风行驶的速度为()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D．答案B解析对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，人骑自行车逆风行驶的速度为v1＋v2，因此选B.4．已知非零向量AB与AC满足·BC＝0，且·＝，则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形答案D解析 ·BC＝0，∴∠A的平分线所在的向量与BC垂直，所以△ABC为等腰三角形．又·＝，∴cosA＝，∴∠A＝.故△ABC为等边三角形．5．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，O是坐标原点，C是圆上一点，若OA＋OB＝OC，则a的值为()A．±1B．±C．±D．±2答案A解析如图，连接AC，BC，可知四边形OACB是菱形，OC⊥AB，所以原点O到直线AB的距离等于半径的一半，即，进而可得a＝±1.二、填空题6．某人从点O向正东走30m到达点A，再向正北走30m到达点B，则此人的位移的大小是________m，方向是东偏北________．答案6060°解析如图所示，此人的位移是OB＝OA＋AB，且OA⊥AB，则|OB|＝＝60(m)，tan∠BOA＝＝.∴∠BOA＝60°.7．已知向量a＝(6,2)，b＝，过点A(3，－1)且与向量a＋2b平行的直线l的方程为________．答案3x＋2y－7＝0解析a＋2b＝(6,2)＋(－8,1)＝(－2,3)＝－2，∴过A(3，－1)且与向量a＋2b平行的直线l的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋2y－7＝0.8．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案解析以α，β为邻边的平行四边形的面积为S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝，所以sinθ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈.三、解答题9．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若AB＝a，AD＝b.(1)试以a，b为基底表示BE，DF；(2)求证：A，G，C三点共线．解(1)BE＝AE－AB＝b－a，DF＝AF－AD＝a－b.(2)证明：D，G，F三点共线，则DG＝λDF，AG＝AD＋λDF＝λa＋(1－λ)b.B，G，E三点共线，则BG＝μBE，AG＝AB＋μBE＝(1－μ)a＋μb，由平面向量基本定理知解得λ＝μ＝，∴AG＝(a＋b)＝AC，所以A，G，C三点共线．10．今有一小船位于d＝60m宽的河边P处，从这里起，在下游l＝80m处河流变成瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？解如图，由题设可知，船的实际速度v＝v划＋v水，其方向为临界方向PO.则最小划速|v划|＝|v水|·sinθ，sinθ＝＝＝，∴θ＝37°.∴最小划速应为v划＝5×sinθ＝5×＝3(m/s)．当划速最小时，划速的方向与水流方向的夹角为127°.B级：能力提升练1．一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10mile处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东75°，以9mile/h的速度向前航行，货船以21mile/h的航速前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货船的位移．解如下图，设渔船在A处遇险，货船在B处发现渔船遇险，两船在C处相遇，所经时间为t(h)．由已知，∠BAC＝45°＋75°＝120°，|AB|＝10，|AC|＝9t，|BC|＝21t. BC＝AC－AB，∴BC2＝(AC－AB)2，即BC2＝AC2－2AC·AB＋AB2.∴(21t)2＝(9t)2－2×9t×10×cos120°＋100.化简得36t2－9t－10＝0，即(3t－2)(12t＋5)＝0. t>0，∴t＝.∴|BC|＝×21＝14，|AC|＝×9＝6.又AC＝BC－BA，∴AC2＝(BC－BA)2，即AC2＝BC2－2BC·BA＋BA2.∴36＝196－2×14×10×cos∠ABC＋100.由此解得cos∠ABC＝.∴∠ABC≈21°47′.故货船的位移是北偏东66°47′，距离为14mile.2．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受...
