高中数学第2章平面向量2.5向量的应用自主训练苏教版必修4我夯基我达标1.已知A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),则△ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形思路解析： A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),∴=（1，1），=（-4，2），=（-3，3）. ·=1×（-3）+1×3=0,∴AB⊥AC,即∠A=90°.∴△ABC为直角三角形.答案：A2.以原点和点A(4,2)为顶点作等腰Rt△OAB,∠B=90°,则向量的坐标为____________.思路解析：利用长度公式和垂直条件列出关于向量坐标的方程,然后求解.设=(x,y),则=(x-4,y-2).由已知故B(1,3)或B(3,-1).∴=(-3,1)或(-1,-3).答案：(-3,1)或(-1,-3)3.已知两恒力F1(3,4),F2(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求：(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对质点所做的功.思路分析：设物体在力F作用下位移为S,则所做的功为W=F·S.解：=（7，0）-（20，15）=（-13，-15）,(1)W1=F1·=（3，4）·（-13，-15）=-99(焦耳).W2=F2·=（6，-5）（-13，-15）=-3(焦耳).(2)W=F·=（F1+F2）·=［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=-102(焦耳).4.如图2-5-8，在△ABC中,D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,G是它的重心,已知D点的坐标是(1,2),E点坐标是(3,5),F点坐标是(2,7),求A、B、C、G的坐标.图2-5-8思路分析：根据D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,得=.从而求出A点坐标,B、C、G点的坐标求法与此类似.解：设A（x1,y1),由已知得EF平行且等于AD,∴=.∴(x1-1,y1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2).∴∴A(0,4).同理,可得B(2,0),C(4,10).连结AE,则AE过点G.设G(x2,y2),由=2得(x2,y2-4)=2(3-x2,5-y2),∴.∴G(2,).5.设a、b、c是两两不共线的三个向量.(1)如果a+b+c=0,求证:以a、b、c的模为边,必构成一个三角形；(2)如果向量a、b、c能构成一个三角形,问它们应该有怎样的关系?思路分析：运用向量加法的三角形法则及多边形法则即可解答.解：(1)如图2-5-9,作=a,=b,=c.按向量加法的多边形法则有=++=a+b+c=0.图2-5-9∴B与D重合,故向量a、b、c能构成一个三角形.(2)设向量a、b、c能构成一个△ABC,根据向量加法的三角形法则,有+=,即++=0. a=-,b=-,c=-,∴a、b、c有下列四种关系之一即可：①a+b-c=0,②a+b+c=0,③a-b-c=0,④a-b+c=0.6.如图2-5-10所示，△ABC三边长分别为a、b、c,以A为圆心,r为半径作圆,PQ为直径,试判断P、Q在什么位置时,·有最大值?图2-5-10思路分析：先构造向量表示和,然后运用向量的运算建立目标函数,再利用向量的数量积a·b≤|a||b|求解.解： +=,+==-,∴·=（-）·（--）=-2+·+·-·=-r2+·+·（-）=·+·-r2=cbcos∠BAC+·-r2. r、a、b、c、∠BAC均为定值,故当且仅当·有最大值时，·有最大值.而当与同向共线时，其夹角为0，有·=ra.∴当∥,且与同向时,·有最大值：bccos∠BAC+ar-r2.我综合我发展7.在四边形ABCD中,·=0,且=,则四边形ABCD是()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形思路解析：由·=0得AB⊥BC,又=,∴AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.答案：C8.如图2-5-11,已知A、B、C是不共线的三点,O是△ABC内的一点,若++=0,求证：O是△ABC的重心.图2-5-11思路分析：以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-,从而得||=2||,即O为△ABC的重心.解：由于++=0,∴=-(+),即+是的相反向量,以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-.在平行四边形BOCD中,设BC与OD交于E点,则=,,∴AE是△ABC的中线,且||=2||.故O是△ABC的重心.9.在△ABC内求一点P,使的值最小.思路分析：根据已知条件,可设=a,=b,再把表示成关于向量=x的函数,进而求出该函数的最小值.解：如图2-5-12,设=a,=b,=x，图2-5-12则=x-a,=x-b,∴=(x-a)2+(x-b)2+x2=3x2-2(a+b)x+b2+a2=3［x-(a+b)］2+a2+b2-(a+b)2.根据向量运算的意义知,当x=(a+b)时,有最小值.设M为AB的中点,易知a+b=2.当x=(a+b)时,=,也即P为△ABC的重心时,的值最小，为a2+b2-(a+b)2,即a2+b2-ab.10.如图2-5-13(1),有两条相交成60°的直线xx1、yy1,交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy1上,起初甲位于离O点3km的A处,乙位于离O点1km的B处.后来两个人同时用每小时4km的速度,甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动.(1)起初两个人的距离是多少?(2)什么时候两...
