高中数学 第2章 平面向量 2.5 向量的应用知识导航 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

2.5向量的应用知识梳理一、向量在平面几何中的应用平面几何中的共线、共点、平行、线段间的关系、直线的夹角等问题，都可以考虑重新用向量的知识来试着解决它们.对于平面几何中的共线(平行)问题，往往可以转而考虑与其相关的一对向量的平行问题；对于平面几何中的直线共点问题，常常可以转化为考虑先由其中某两条直线确定一个交点然后再通过借助于向量的知识来说明其他直线也过这点；对于平面几何中的线段间的关系问题，又往往可以考虑相关向量的模长问题等来帮助解决.对于求直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的夹角，则只要求与这两条直线平行的两个向量的夹角，再取这两个向量的夹角或其补角，即与直线l1,l2分别平行的向量m=(-B1,A1)，n=(-B2,A2)，设向量m,n的夹角为θ，则cosθ==，当cosθ＜0时，直线l1,l2的夹角等于π-θ；当cosθ≥0时，直线l1,l2的夹角等于θ.二、向量在物理中的应用力向量：力向量不同于自由向量，它不仅包括大小、方向两个要素，而且还有作用点.大小相同方向相同的两个自由向量互为相等向量，但大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的.但是力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.速度向量：向量是既有大小又有方向的量，物理中有很多量都是这种量，除了上面所研究的力外，速度也是既有大小又有方向的量.一质点在运动中每一个时刻都有一个速度向量.知识导学要学好本节内容，可从通过结合实例掌握处理几何问题的代数方法，结合不用向量方法如何证明“思考”,对不同解题方法进行比较,从中体会向量方法的优越性.用向量方法解答物理问题的模式策略：(1)建模,把物理问题转化为数学问题；(2)解模,解答得到的数学问题；(3)回答,利用解得的数学答案解释物理现象.疑难突破1.结合具体实例如“证明平行四边形的对角线互相平分”剖析如何用向量方法“三步曲”解决平面几何问题.剖析：第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.作平行四边形ABCD,M是对角线AC、BD的交点.设=a,=b.第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系.由向量加法法则=a,=b,故=a+b.另外,=a+b.两式相减得-++=0.∵-与共线,+与共线,由向量共线的等价条件,存在实数λ、μ,使-=λ,+=μ.∴λ+μ=0.而与不共线,∴λ=μ=0,即-=+=0.∴=,=.第三步,把运算结果“翻译”成几何关系.∴M既是AC的中点,又是BD的中点,即AC和BD互相平分.2.向量问题和物理问题有哪些相关知识？剖析：(1)力、速度、加速度、位移都是向量；(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(3)动量mv是数乘向量；(4)功的定义即是力F与位移s的数量积.3.用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题,其基本思路和方法为哪些？剖析：(1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出解释.