高中数学 第2章 平面向量 2.3 向量的坐标表示例题与探究 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

高中数学第2章平面向量2.3向量的坐标表示例题与探究苏教版必修4典题精讲例1如图2-3-2，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c、d表示和.图2-3-2思路分析：本题要求用c、d表示和，所以可以将c、d看作基底，也就变成了用基底表示和两个向量.解：设=a，=b，由M、N分别为DC、BC的中点，得=b，=a.从△ABN和△ADM中，得即=(2d-c)，=(2c-d).绿色通道：从解答本题的过程来看，本题策略性较强：(1)为使问题表达简单，采用代换=a，=b；(2)为使问题降低难度，采用正难则反策略，即直接用c、d表示、困难，反过来改用、表示c、d，然后将和看成是未知量，利用方程组解得和.变式训练如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法错误的有()①λe1+μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量②对于平面α中的任一向量a，使a=λe1+μe2的实数λ、μ有无数多对③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)④若实数λ、μ使λe1+μe2=0，则λ=μ=0A.①②B.②③C.③④D.②思路解析：由平面向量基本定理,知①④正确，而②错误.当λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)，当λ1=λ2=μ1=μ2时，对任意实数λ，均有λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2).因此，③也是错误的.答案：B例2已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)求证：对于任意向量a、b及常数m、n，f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)恒成立；(2)设a=(1,1)，b=(1,0)，求向量f(a)、f(b)的坐标;(3)求使f(c)=(p,q)(p、q为常数)的向量c的坐标.思路分析：本题用到向量的坐标表示，向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算等知识，代入相应的公式运算即可.解：(1)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2).∴f(ma+nb)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1),mf(a)+nf(b)=m(a2，2a2-a1)+n(b2，2b2-b1)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1).∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)恒成立.(2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1)，f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(3)设c=(x,y)，则f(c)=(y,2y-x)=(p,q).∴y=p,2y-x=q.∴x=2p-q，即向量c=(2p-q,p).绿色通道：本题是向量的坐标运算与函数知识相结合的问题，题目的难度并不大，主要考查向量的坐标运算和函数的基础知识，但却充分体现了坐标运算的代数性.为运用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而解决问题.变式训练已知ABCD中，A(-1，0)，B(3，0)，C(1，-5)，则D的坐标为()A.(-3，-5)B.(-3，5)C.(5，-5)D.(-2，5)思路解析：设D(x,y)， 四边形ABCD是平行四边形，∴=.又 =-=(4,0),=-=(1-x,-5-y)，∴1-x=4且-5-y=0.∴x=-3,y=-5.答案：A例3如图2-3-3所示，在△ABC中，=a,=b，=c，=λa(0<λ<1),=μb(0<μ<1),试用a、b表示c.图2-3-3思路分析：利用共线，假设=m和=n；再根据向量减法的三角形法则，求出(用a,b,m,n,λ,μ表示)，再解方程，从而可顺利用a,b表示出c.解： 与共线，假设=m,∴=m=m(-)=m(μb-a).∴=+=a+m(μb-a)=(1-m)a+mμb.①又 与共线，设=n=n(-)=n(λa-b)，∴=+=b+n(λa-b)=nλa+(1-n)b.②由①②，得(1-m)a+mμb=nλa+(1-n)b， a与b不共线，∴解得m=,n=.代入①式，得c=(1-m)a+mμb=(1-)a+μb=［λ(1-μ)a+μ(1-λ)b］.绿色通道：由于题中的三角形个数较多，利用向量减法的三角形法则要从条件与结论所需要出发，找出有关三角形，一个不够可以找两个、三个、…，本例中找了两个三角形；然后利用平面向量基本定理中向量用基底表示的唯一性，分别求出m、n.变式训练一船以每小时8千米的速度向东航行，船上人测得风自北方来，若船速加倍，则测得风自东北方来，求风速.思路分析：船上人测得的风速是风对船的相对速度，明白了这个道理解决这个问题就很简单了.解：分别取正东、正北方向为x、y轴建立直角坐标系，令x、y轴正方向上的单位向量为i、j，则风速可表示为xi+yj，第一次船速为8i，船上人测得的风速为-pj(p>0).∴xi+yj-8i=-pj.∴x=8.第二次船速为16i，船上人测得的风速为-q(i+j)(q>0).∴xi+yj-16i=-q(i+j).∴x-16=-q=y.∴y=-8.∴风速为8i-8j，即风的方向为东南方向，大小为千米/时.问题探究问题试探究命题“如果a=(a1,a2),b=(b1,b2)，则a1b2-a...