2.2.3向量的数乘5分钟训练（预习类训练,可用于课前）判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由:(1)向量a与向量b平行，则向量a与向量b方向相同或相反；(2)向量与向量是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；(3)若干个向量首尾相连，形成封闭图形(即向量链)，则这些向量的和等于0；(4)起点不同，但方向相同且长度相等的几个向量是相等的向量.解:(1)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定.(2)不正确.若向量与向量是共线向量，则向量与向量在同一条直线上，或者向量与向量所在的直线平行，因此，A、B、C、D四点不一定在一条直线上.(3)正确.(4)正确10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.若3m+2n=a，m-3n=b，其中a、b是已知向量，求m、n.思路解析:此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.在此题求解过程中，要利用实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，与解向量的二元一次方程组的方法和解实数的二元一次方程组的方法是一致的.解:记3m+2n=a，①m-3n=b，②3×②得3m-9n=3b.③①-③得11n=a-3b.∴n=a-b.④将④代入②,有m=b+3n=a+b.2.在平行四边形ABCD中，=a，=b，求、.思路解析:由平面几何的知识可知，对角线相等且互相平分，用已知向量可以表示所求向量；也可用所求向量表示已知向量，联立方程组，求得所求向量.解法一:利用平行四边形的性质，得==a，==b.∵=+=-，∴=a-b.又∵=+,=，∴=a+b.解法二:将、视为未知量，由向量的加法、减法,得两式相加得2=+,∴=+=a+b.两式相减得2=-,∴=-=a-b.3.一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际航行速度.思路解析:用向量法解决物理问题的步骤为:(1)用向量表示物理量;(2)进行向量运算;(3)回扣物理问题，解决问题.本题求速度，可以用向量表示速度，然后用向量加法合成速度即可.解:如图，表示水流速度，表示船垂直于对岸方向行驶的速度，表示船的实际航行速度，∠AOC=30°,||=5，∵四边形ABCD为矩形，∴||=||cot30°=，∴水流速度为km/h,船的实际航行速度为10km/h.4.用向量方法证明:三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半.证明:如图所示，在△ABC中，∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴=，=.∴=-=(-)=.又D不在BC上，∴DE∥BC，且DE=BC.志鸿教育乐园腹部的疤痕5岁的女儿不明白妈妈的肚皮为什么有一个疤痕，妈妈向女儿解释说：“这是医生割了一刀，把你取出的地方.”女儿认真想了一会儿，很认真地问妈妈：“那你为什么要吃掉我？”30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.若3x-2(x-a)=0，则x等于()A.2aB.-2aC.aD.-a思路解析:这是一个简单的向量多项式的运算，通过移项、合并同类项可以得到正确答案.答案:B2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是()A.a与-λa的方向相反B.|-λa|≥|a|C.a与λ2a的方向相同D.|-λa|=|λ|a思路解析:如果λ>0,则a与-λa的方向相反，如果λ<0，则a与-λa的方向相同，A错；如果|λ|<1，则|-λa|<|a|，B错；|-λa|是一个大于或等于零的实数，而|λ|a是向量，它们之间不能比较大小，D错.答案:C3.如图2-2-11，ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=BD.求证:M、N、C三点共线.图2-2-11证明:设=a，=b，则=+=a+(-a+b)=a+b，=+=a+b，所以=3.所以M、N、C三点共线.4.设x是未知向量，满足x+3a-b=0，求x.解:原方程可变形为x=-3a+b，∴x=3(-3a+b)=-9a+b.5.如图2-2-12所示，在△ABC中，=a，=b，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量.图2-2-12解法一:∵=a，=b，则==b，∴=+=a+b，而=.∴=a+b.解法二:过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F两点.∵△AEF∽△ABC，==a，==b，==b，∴=+=a+b.
