高中数学第2章平面向量2.2向量的线性运算课堂导学苏教版必修4三点剖析1.向量的加减法运算数乘的定义及其运算律【例1】在四边形中，已知=a，=b，=c，试用向量a,b,c表示向量.思路分析：连结，则将四边形ABCD分成两个三角形.利用向量的三角形法则，将用a,b,c与来表示，即可求出.解：在下图中作向量.由向量加法的三角形法则，得=a+c，=b+.所以a+c=b+.因此=a+c-b.温馨提示找到向量并以建立与a,b,c的关系是本题的关键.【例2】在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，设=a,=b，求作向量a-b,a-b,b+a.思路分析：利用向量数乘、减法的法则来作图.解：如图a-b=-=.a-b=-=.b+a=+=.2．对向量数乘运算律的理解和应用【例3】设x是未知量，解方程2（x-a）-(b-3x+c)+b=0.思路分析：向量方程与实数方程类似，我们可以用和实数方程类似的方法来解决.解：原方程化为2x-a-b+x-c+b=0,B-a+b-c=0,x=a-b+c,∴x=a-b+c.3.向量共线的应用【例4】如右图所示，在平行四边形ABCD中，=a，=b，M是AB的中点，点N是BD上一点，|BN|=|BD|.求证：M、N、C三点共线.思路分析：本题主要考查运用向量知识解决平面几何问题.要证三点共线（M、N、C），不妨证、具有一定的倍数关系，只要用已知条件a,b表示出，，问题就可以解决.证明：∵=a,=b,∴=-=a-b.∴==b+=b+(a-b)=a+b=(2a+b).又∵==b+a=(2a+b),∴=3.又与有共同起点，∴M、N、C三点共线.温馨提示几何中证明三点共线，可先在三点中选取起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量具有一定的倍数关系.各个击破类题演练1已知平行四边形ABCD，=a，=b，用a、b分别表示向量，.思路分析：利用向量加法、减法的平行四边形法则.解：连结、，由求向量和的平行四边形法则，则=+=a+b.依减法定义得，=-=a-b.变式提升1(2006广东高考，4)如右图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（）A.-+B.--C.-D.+思路分析：由三角形法则得知=-=-.答案：A类题演练2若O为平行四边形ABCD的中心，=4e1，=6e2，则3e2-2e1=______________.解：3e2=,2e1=,∴3e2-2e1=-=(-)=(+)=.答案：变式提升2化简［(4a-3b)+b-(6a-7b)］=__________________.解析：原式=(4a-3b+b-a+b)=［(4-)a+(-3++)b］=(a-b)=a-b.答案：a-b类题演练3设x为未知向量，解方程x+3a-b=0.解：原方程化为x+(3a-b)=0,所以x=0-(3a-b),x=-3a+b.所以x=-9a+b.变式提升3(2006山东高考，文4)设向量a=（1，-3），b=（-2，4）.若表示向量4a、3b-2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（）A.(1，-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)解析：依题可知4a+(3b-2a)+c=0,所以c=2a-4a-3b=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).答案：D类题演练4已知两个非零向量e1和e2不共线，如果=2e1+3e2，=6e1+23e2，=4e1-8e2，求证：A、B、D三点共线.思路分析：本题主要考查向量共线问题及向量的线性运算.欲证A、B、D三点共线，只需证、共线，根据题目的条件如何才能求得呢？显然=++证明：∵=++=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2=12e1+18e2=6（2e1+3e2）=6，∴向量与向量共线.又∵和有共同的起点A，∴A、B、D三点共线.变式提升4a=e1+2e2,b=3e1-4e2，且e1、e2共线，则a与b（）A.共线B.不共线C.可能共线，也可能不共线D.不能确定思路分析：∵e1与e2共线，则存在实数e1=λe2,∴a=e1+2e2=(λ+2)e2,b=3e1-4e2=(3λ-4)e2,∴a=λ+λ-4b,故a与b共线.答案：A
