高中数学 第2章 参数方程 2.4 一些常见曲线的参数方程学业分层测评 新人教B版选修4-4-新人教B版高一选修4-4数学试题VIP专享VIP免费

第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程学业分层测评新人教B版选修4-41.给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点.其中正确的说法有()A.①③B.②④C.②③D.①③④【解析】对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.【答案】C2.已知圆的渐开线的参数方程是(t为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数t＝时对应的曲线上的点的坐标为______.【解析】圆的渐开线的参数方程由基圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为8，故直径为16.求当t＝时对应的坐标只需把t＝代入曲线的参数方程，得x＝4＋π，y＝4－π，由此可得对应的坐标为(4＋π，4－π).【答案】16(4＋π，4－π)3.参数方程为(0≤t≤2π)的摆线的对称轴方程是________.【导学号：62790015】【解析】∵t＝π时，y有最大值16，此时x＝8π，∴由摆线的特点知对称轴方程为x＝8π.【答案】x＝8π4.求圆的渐开线上与t＝对应的点的直角坐标.【解】∵当t＝时有即∴对应的直角坐标为((4＋π)，(4－π)).5.求摆线(0≤t≤2π)与直线y＝1的交点的直角坐标.【解】由题意知：1＝1－cost，解得t1＝，t2＝，对应交点的坐标为，，交点为(－1,1)，(π＋1,1).6.当t＝，π时，求出渐开线上对应的点A、B，并求出A、B的距离.【解】将t＝代入，得x＝cos＋·sin＝0＋＝，y＝sin－·cos＝1，∴A(，1)，将t＝π，代入得x＝cosπ＋π·sinπ＝－1，y＝sinπ－πcosπ＝π，∴B(－1，π)，∴|AB|＝＝.7.已知一个圆的摆线方程是(t为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.【解】首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是：(t为参数).8.如图241所示，设基圆半径为r，渐开线的起点为A，取圆心O为极点，射线OA为极轴.M(ρ，θ)为渐开线上任一点，过M作基圆的切线MB，B是切点.设∠BOM＝α，试用α做参数，写出渐开线在极坐标中的参数方程.图241【解】∵MB是切线，∴OB⊥BM，∴ρ＝.又BA＝BM，且BM＝rtanα，∴θ＝rtanα－α.∴极坐标方程为9.设有两个半径相同的圆，其中一个圆固定不动，另一个圆绕定圆无滑动地滚动，在动圆的圆周上有一定点M，求滚动过程中点M的轨迹方程.【解】设圆半径为a，取定圆的圆心为坐标原点，开始时两圆相切于A点，射线OA为x轴的正半轴，建立坐标系(如右图所示).当滚动角度θ(以弧度为单位)后，两圆切于B点，动圆圆心为C，定点M的位置如图所示.记射线CM与x轴正向形成的任意角为α(图中为负值).由于无滑动，得AB＝BM，因为两圆半径相等，所以∠AOB＝θ，从而得α＝－(π－2θ).向量CM的坐标表达式为CM＝(acosα，asinα)＝(－acos2θ，－asin2θ)，又OC＝(2acosθ，2asinθ)，得OM＝OC＋CM＝(2acosθ－acos2θ，2asinθ－asin2θ).即用倍角公式，变形为x＝2acosθ－a(2cos2θ－1)，x－a＝2acosθ－2acos2θ＝2acosθ(1－cosθ)，y＝2asinθ(1－cosθ)，(x－a)2＋y2＝4a2(1－cosθ)2，所以M的轨迹方程为(x－a)2＋y2＝4a2(1－cosθ)2.