第2章参数方程2.3圆锥曲线的参数方程学业分层测评新人教B版选修4-4一、选择题(每小题5分，共20分)1.曲线C：(φ为参数)的离心率为()A.B.C.D.【解析】由题设，得＋＝1，∴a2＝9，b2＝5，c2＝4，因此e＝＝.【答案】A2.参数方程(α为参数)的普通方程是()A.y2－x2＝1B.x2－y2＝1C.y2－x2＝1(|x|≤)D.x2－y2＝1(|x|≤)【解析】因为x2＝1＋sinα，所以sinα＝x2－1.又因为y2＝2＋sinα＝2＋(x2－1)，所以y2－x2＝1.∵x＝sin＋cos＝sin，故x∈[－，].∴普通方程为y2－x2＝1，x∈[－，].【答案】C3.点P(1,0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为()A.0B.1C.D.2【解析】d2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2，∴t2≥0，d2≥1，dmin＝1.【答案】B4.已知曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点的坐标是()A.(3,4)B.(，2)C.(－3，－4)D.(，)【解析】由题意知，3cosθ＝4sinθ，∴tanθ＝，则sinθ＝，cosθ＝，∴x＝3×cosθ＝3×＝，y＝4sinθ＝4×＝，因此点P的坐标为(，).【答案】D二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________.【解析】点M的坐标为直线OM的斜率k＝＝2.【答案】26.抛物线方程为(t为参数)，则它在y轴正半轴上的截距是________.【导学号：62790013】【解析】当x＝0时，－4t2＋1＝0，t＝±，∴在y轴的正半轴上的截距是4×＝2.【答案】2三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图231所示，连接原点O和抛物线y＝x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图231【解】抛物线标准方程为x2＝2y，其参数方程为得M(2t,2t2).设P(x，y)，则M是OP中点.∴∴(t为参数)，消去t得y＝x2，是以y轴为对称轴，焦点为(0,1)的抛物线.8.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.【解】(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosα，sinα).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝＝，当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.9.如图232所示，求椭圆＋＝1的内接矩形的最大面积是多少？图232【解】椭圆的参数方程为设内接矩形在第一象限内的一个顶点为M(x，y)，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为S＝4xy＝4·5cost·4sint＝40sin2t.当t＝时，面积S取得最大值40，此时x＝5cos＝，y＝4sin＝2.因此，矩形在第一象限的顶点为(，2)时，内接矩形的面积最大，为40.
