第1课时单调性[学生用书P93(单独成册)][A基础达标]1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A.函数在区间[-5,-3]上单调递增B.函数在区间[1,4]上单调递增C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[-5,5]上没有单调性解析:选C.若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.故选C.2.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是()A.y=3-xB.y=x2+1C.y=D.y=-|x+1|解析:选B.y=3-x,y=,y=-|x+1|在(0,2)上都是减函数,只有y=x2+1在(0,2)上是增函数.3.函数y=|x+2|在区间[-3,0]上()A.递减B.递增C.先减后增D.先增后减解析:选C.y=|x+2|=作出y=|x+2|的图象,如图所示,易知在[-3,-2)上为减函数,在[-2,0]上为增函数.4.已知函数y=ax和y=-在(0,+∞)上都是减函数,则函数f(x)=bx+a在R上是()A.减函数且f(0)<0B.增函数且f(0)<0C.减函数且f(0)>0D.增函数且f(0)>0解析:选A.因为y=ax和y=-在(0,+∞)上都是减函数,所以a<0,b<0,则f(x)=bx+a在R上为减函数且f(0)=a<0,故选A.5.若函数f(x)在R上单调递增,则f(x2-2x)与f(-1)的大小关系为()A.f(x2-2x)≥f(-1)B.f(x2-2x)≤f(-1)C.f(x2-2x)=f(-1)D.不能确定解析:选A.因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,又函数f(x)在R上单调递增,所以f(x2-2x)≥f(-1).故选A.6.已知函数f(x)为R上的单调减函数,若f(a2+2a-1)=f(3-a),则a=________.解析:由题意,f(a2+2a-1)=f(3-a),则a2+2a-1=3-a.所以a2+3a-4=0,所以a=1或-4.答案:-4或17.设函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是__________.解析:由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知函数f(x)为增函数,又因为-3>-π,所以f(-3)>f(-π).答案:f(-3)>f(-π)8.若函数f(x)=|(x-1)(x-a)|(a>1)的一个单调递增区间是[3,+∞),则a=________.解析:f(x)=其图象如图所示.它的单调递增区间为和[a,+∞).所以[a,+∞)=[3,+∞),所以a=3.答案:39.证明:函数f(x)=-在定义域上是单调减函数.证明:易知f(x)=-的定义域为[0,+∞).设x1,x2是[0,+∞)内的任意两个实数,且x10,所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)=-在[0,+∞)上是单调减函数.10.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的正数d,都有f(x+d)<f(x),求满足f(1-a)<f(2a-1)的a的取值范围.解:令x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0.因为对任意的正数d,都有f(x+d)<f(x),所以f(x2)=f[x1+(x2-x1)]<f(x1).所以函数y=f(x)是减函数.又因为f(1-a)<f(2a-1),所以1-a>2a-1,解得a<.所以a的取值范围是.[B能力提升]1.下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),都有>0”的是________(填序号).①f(x)=;②f(x)=-3x+1;③f(x)=x2+4x+3;④f(x)=x+.解析:由题意f(x)在(0,+∞)上为增函数,函数f(x)=及f(x)=-3x+1在(0,+∞)上都为减函数,函数f(x)=x+在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,函数f(x)=x2+4x+3在(-∞,-2)上递减,在(-2,+∞)上递增,故在(0,+∞)上也为增函数.满足条件的只有③.答案:③2.若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是________.解析:由于f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(2)>f(0),解得a<0.又因f(x)图象的对称轴为x=-=2.所以f(x)在[0,2]上的值域与在[2,4]上的值域相同,所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.答案:[0,4]3.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),求a的值.解:因为f(x)=所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以-=3,所以a=-6.4.(选做题)已知f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)>0,f(3)=1.判断g(x)=f(x)+在(0,3]上是增函数还是减函数,并加以证明.解:函数g(x)在(0,3]上是减函数.证明如下:任取x1,x2∈(0,3],且x10,f(3)=1,所以01,1-<0.所以g(x1)-g(x2)>0,所以函数g(x)=f(x)+在(0,3]上是减函数.