第1课时单调性[学生用书P93(单独成册)][A基础达标]1．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1，4]上单调递增C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减D．函数在区间[－5，5]上没有单调性解析：选C.若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．故选C.2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是()A．y＝3－xB．y＝x2＋1C．y＝D．y＝－|x＋1|解析：选B.y＝3－x，y＝，y＝－|x＋1|在(0，2)上都是减函数，只有y＝x2＋1在(0，2)上是增函数．3．函数y＝|x＋2|在区间[－3，0]上()A．递减B．递增C．先减后增D．先增后减解析：选C.y＝|x＋2|＝作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，易知在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．4．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()A．减函数且f(0)<0B．增函数且f(0)<0C．减函数且f(0)>0D．增函数且f(0)>0解析：选A.因为y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，所以a<0，b<0，则f(x)＝bx＋a在R上为减函数且f(0)＝a<0，故选A.5．若函数f(x)在R上单调递增，则f(x2－2x)与f(－1)的大小关系为()A．f(x2－2x)≥f(－1)B．f(x2－2x)≤f(－1)C．f(x2－2x)＝f(－1)D．不能确定解析：选A.因为x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，又函数f(x)在R上单调递增，所以f(x2－2x)≥f(－1)．故选A.6．已知函数f(x)为R上的单调减函数，若f(a2＋2a－1)＝f(3－a)，则a＝________．解析：由题意，f(a2＋2a－1)＝f(3－a)，则a2＋2a－1＝3－a.所以a2＋3a－4＝0，所以a＝1或－4.答案：－4或17．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是__________．解析：由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又因为－3>－π，所以f(－3)>f(－π)．答案：f(－3)>f(－π)8．若函数f(x)＝|(x－1)(x－a)|(a>1)的一个单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________．解析：f(x)＝其图象如图所示．它的单调递增区间为和[a，＋∞)．所以[a，＋∞)＝[3，＋∞)，所以a＝3.答案：39．证明：函数f(x)＝－在定义域上是单调减函数．证明：易知f(x)＝－的定义域为[0，＋∞)．设x1，x2是[0，＋∞)内的任意两个实数，且x10，所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)＝－在[0，＋∞)上是单调减函数．10．已知函数f(x)的定义域为R，且对任意的正数d，都有f(x＋d)＜f(x)，求满足f(1－a)＜f(2a－1)的a的取值范围．解：令x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0.因为对任意的正数d，都有f(x＋d)＜f(x)，所以f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＜f(x1)．所以函数y＝f(x)是减函数．又因为f(1－a)＜f(2a－1)，所以1－a＞2a－1，解得a＜.所以a的取值范围是.[B能力提升]1．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是________(填序号)．①f(x)＝；②f(x)＝－3x＋1；③f(x)＝x2＋4x＋3;④f(x)＝x＋.解析：由题意f(x)在(0，＋∞)上为增函数，函数f(x)＝及f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上都为减函数，函数f(x)＝x＋在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，函数f(x)＝x2＋4x＋3在(－∞，－2)上递减，在(－2，＋∞)上递增，故在(0，＋∞)上也为增函数．满足条件的只有③.答案：③2．若定义在R上的二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b在区间[0，2]上是增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是________．解析：由于f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(2)>f(0)，解得a<0.又因f(x)图象的对称轴为x＝－＝2.所以f(x)在[0，2]上的值域与在[2，4]上的值域相同，所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.答案：[0，4]3．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，求a的值．解：因为f(x)＝所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．所以－＝3，所以a＝－6.4．(选做题)已知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)>0，f(3)＝1.判断g(x)＝f(x)＋在(0，3]上是增函数还是减函数，并加以证明．解：函数g(x)在(0，3]上是减函数．证明如下：任取x1，x2∈(0，3]，且x10，f(3)＝1，所以01，1－<0.所以g(x1)－g(x2)>0，所以函数g(x)＝f(x)＋在(0，3]上是减函数．
