【成才之路】2015-2016学年高中数学第2章3.1数乘向量课时作业北师大版必修4一、选择题1.[(2a－8b)－(4a＋2b)]等于()A．2a－bB．－a－2bC．－a＋2bD．a－b[答案]B[解析]原式＝(a－4b－4a－2b)＝－a－2B．2．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ等于()A．1B．0C．－1D．±1[答案]C[解析]∵向量a＋λb与b＋λa的方向相反，∴(a＋λb)∥(b＋λa)．由向量共线的性质定理可知，存在一个实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，即(1－mλ)a＝(m－λ)B．∵a与b不共线，∴1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ.∴1－λ2＝0，λ＝±1.当λ＝1时，向量a＋b与b＋a是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去．∴λ＝－1.3．在△ABC中，已知BC＝3BD，则AD等于()A．(AC＋2AB)B．(AB＋2AC)C．(AC＋3AB)D．(AC＋2AB)[答案]A[解析]如图所示，由已知得D点在BC上，且D为BC的三等分点，由加法的三角形法则可得AD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝(AC＋2AB)．应选A．4．若x为未知向量，满足方程2x－3(x－2a)＝0，则向量x等于()A．aB．6aC．－6aD．－a[答案]B[解析]由已知得－x＝－6a，∴x＝6A．5．给出以下命题：①若两非零向量a，b，使得a＝λb(λ∈R)，那么a∥b；②若两非零向量a∥b，则a＝λb(λ∈R)；③若λ∈R，则λa∥a；④若λ，μ∈R，λ≠μ，则(λ＋μ)a与a共线．其中正确命题的个数是()1A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]a∥b(b≠0)⇔存在实数λ使得a＝λb，∴①②③④正确．6．在四边形ABCD中，若AB＝－CD，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形[答案]B[解析]∵AB＝－CD，∴AB∥CD且|AB|＝|CD|，∴四边形ABCD是梯形．二、填空题7．若a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，则2a－3b＝________.[答案]－e1＋10e2[解析]2a－3b＝2(e1＋2e2)－3(e1－2e2)＝－e1＋10e2.8．点C在线段AB上，且AC＝AB，则AC＝________BC.[答案]－[解析]因为CB＝AB，所以BC＝－AB.又AC＝AB，故AC＝AB＝×(－)BC＝－BC.三、解答题9．计算下列各式：(1)3(2a－b)－2(4a－3b)；(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．[解析](1)原式＝6a－3b－8a＋6b＝－2a＋3b；(2)原式＝a＋b－a＋b－b＝(－)a＋(1＋－)b＝－a；(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝(6－6)a－(8＋3)b＋(2＋9)c＝－11b＋11C．10．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，求MN(用a，b表示)．[解析]由AN＝3NC得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝(a＋b)－(a＋b)＝－a＋B．一、选择题1．已知向量e1≠0，e2≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a与b共线，则下列关系一定成立的是()A．e1∥e2B．e1＝e2C．λ＝0D．e1∥e2或λ＝0[答案]D[解析]∵a与b共线，∴存在实数μ，使a＝μb，∴e1＋λe2＝μ·2e1，∴∴λ＝0或e1∥e2.22．已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在()A．AC边所在的直线上B．BC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．△ABC的内部[答案]A[解析]由CB＝λPA＋PB，得CB＋BP＝λPA，即CP＝λPA.根据共线向量的判定定理知，C，P，A三点共线．二、填空题3．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是________．[答案]梯形[解析]∵AD＝AB＋BC＋CD＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2BC.∴AD∥BC，且AD＝2BC．∴四边形ABCD是梯形．4．设一直线上三点A，B，P满足AP＝λPB(λ≠－1)，O是平面上的任一点，则OP＝________.[答案][解析]由AP＝λPB(λ≠－1)，得OP－OA＝λ(OB－OP)，∴(1＋λ)OP＝OA＋λOB.∴OP＝.三、解答题5．解答下列问题．(1)化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋6b)；(2)已知2b－3(b－2a)＝0，求B．[解析](1)原式＝a－b－a－b＋a＋3b＝a＋b＝a＋b．(2)由已知，得2b－3b＋6a＝0，∴－b＋6a＝0，∴b＝6a．6．设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋me2，CB＝e1＋3e2，若A，B，C三点共线，求实数m的值．[解析]∵A，B，C三点共线，∴AB与CB共线．∴存在实数λ，使AB＝λCB成立，即2e1＋me2＝λ(e1＋3e2)，即(2－λ)e1＋(m－3λ)e2＝0.∵e1，e2是两个不共线的向量，∴2－λ＝m－3λ＝0.∴λ＝2，m＝6，故所求的m的值为6.7.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝B．(1)用a，b表示AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．3[解析](1)如右图所示，延长AD到G，使AG＝2AD，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，则AG＝a＋b，AD＝AG＝(a＋b)，AE＝AD＝(a＋b)，AF＝AC＝b，BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)，BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)知，BE＝BF，∴BE，BF共线．又BE，BF有公共点，∴B，E，F三点共线．4
