1.2.3直线与平面的位置关系A组基础巩固1．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内解析：如图所示，因为l∥平面α，P∈α，所以直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m.所以P∈m.所以l∥m且m是唯一的．答案：B2．三棱锥S-ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF与BC平行C．EF与BC异面D．以上均有可能解析：由线面平行的性质定理可知EF∥BC.答案：B3.如图所示，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能解析：因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，所以MN∥PA.答案：B4．下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.A．1B．2C．3D．4解析：对③，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是①②.答案：B5．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．答案：B6．(2014·浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面成立的是()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：根据条件确定相应的位置关系，再对照选项确定答案．A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．答案：C7．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：如图所示，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．答案：C8．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的序号是________．解析：根据线面垂直的定义及有关垂心、外心的概念来判断．答案：①②③④9．给出下列命题：①垂直于同一平面的两条直线互相平行；②垂直于同一直线的两个平面互相平行；③过一点和已知平面垂直的直线只有一条；④过一点和已知直线垂直的平面只有一个．其中正确的命题的序号是________．解析：由线面垂直的性质知①②③④均正确．答案：①②③④10.如图所示，四面体PABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形有________．解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB.所以△PAC、△PAB均为直角三角形，且底面△ABC也是直角三角形．由BC⊥AB，BC⊥PA知BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.所以△PBC也是直角三角形，故直角三角形有4个．答案：4个11．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是________．解析：用定理来判定线面平行需满足三个条件．答案：012.如图所示，△BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．(1)求PB与平面BCD所成的角；(2)求BP与平面PCD所成的角．解：(1)因为PD⊥平面BCD，所以BD是PB在平面BCD内的射影．所以∠PBD为PB与平面BCD所成的角．因为BD⊥BC，由三垂线定理得BC⊥BP，又因为CD的长等于点P到BC的距离，所以BP＝CD.设BC＝a，则BD＝a，BP＝CD＝a，所以在Rt△BPD中，cos∠DBP＝.所以∠DBP＝45°，即PB与平面BCD所成角为45°.(2)如图所示...
