高中数学 第1章 坐标系 1.3 曲线的极坐标方程 1.4 圆的极坐标方程学业分层测评 新人教B版选修4-4-新人教B版高一选修4-4数学试题VIP专享VIP免费

第1章坐标系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程学业分层测评新人教B版选修4-4一、选择题(每小题5分，共20分)1.下列点不在曲线ρ＝cosθ上的是()A.(，)B.(－，)C.(，－)D.(，－)【解析】点(，－π)的极坐标满足ρ＝，θ＝－π，且ρ≠cosθ＝cos(－π)＝－.【答案】D2.过极点倾斜角为的直线的极坐标方程可以为()A.θ＝B.θ＝，ρ≥0C.θ＝，ρ≥0D.θ＝和θ＝，ρ≥0【解析】以极点O为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线.∵两条射线的极坐标方程为θ＝和θ＝π.∴直线的极坐标方程为θ＝和θ＝π(ρ≥0).【答案】D3.极坐标方程4ρ·sin2＝5表示的曲线是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线【解析】由4ρ·sin2＝4ρ·＝2ρ－2ρcosθ＝5，得方程为2－2x＝5，化简得y2＝5x＋.∴该方程表示抛物线.【答案】D4.在极坐标系中与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程为()A.ρcosθ＝B.ρcosθ＝2C.ρ＝4sin(θ＋)D.ρ＝4sin(θ－)【解析】极坐标方程ρ＝4sinθ化为ρ2＝4ρsinθ，即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.由所给的选项中ρcosθ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切.【答案】B二、填空题(每小题5分，共10分)5.点Q是圆ρ＝4cosθ上的一点，当Q在圆上移动时，OQ(O是极点)中点P的轨迹的极坐标方程是__________________.【解析】ρ＝4cosθ是以(2,0)为圆心，半径为2的圆，则P的轨迹是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，所以极坐标方程是ρ＝2cosθ.【答案】ρ＝2cosθ6.已知圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ＋2ρcosθ＝1的距离是________.【解析】直线ρsinθ＋2ρcosθ＝1化为2x＋y－1＝0，圆ρ＝2cosθ的圆心(1,0)到直线2x＋y－1＝0的距离是.【答案】三、解答题(每小题10分，共30分)7.已知直线的极坐标方程ρsin(θ＋)＝，求极点到直线的距离.【解】∵ρsin(θ＋)＝，∴ρsinθ＋ρcosθ＝1，即直角坐标方程为x＋y＝1.又极点的直角坐标为(0,0)，∴极点到直线的距离d＝＝.8.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点.(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.【解】(1)由ρcos(θ－)＝1，得ρ(cosθ＋sinθ)＝1.又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.∴曲线C的直角坐标方程为＋y＝1，即x＋y－2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M(2,0).当θ＝时，ρ＝，∴点N(，).(2)由(1)知，M点的坐标(2,0)，点N的坐标(0，).又P为MN的中点，∴点P(1，)，则点P的极坐标为(，).所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R).9.在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的一动点，Q是曲线ρ＝12cos(θ－)上的动点，试求|PQ|的最大值.【解】∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又∵ρ＝12cos(θ－)，∴ρ2＝12ρ(cosθcos＋sinθsin)，∴x2＋y2－6x－6y＝0，∴(x－3)2＋(y－3)2＝36.∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.