课时分层作业(十九)余弦定理、正弦定理的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4m，A＝30°，则其跨度AB的长为()A．12mB．8mC．3mD．4mD[由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，＝，即AB＝＝＝4.]2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A．①②B．②③C．①③D．①②③D[由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB．故选D．]3．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为()A．20mB．30mC．40mD．60mC[如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．]4．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD在水平面上，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是()A．30°B．45°C．60°D．75°B[ AD2＝602＋202＝4000，AC2＝602＋302＝4500，在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝，∠CAD∈(0°，180°)，∴∠CAD＝45°.]5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为()A．15mB．20mC．25mD．30mD[设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝，①cos∠PBC＝.② ∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30m．]二、填空题6．若两人用大小相等的力F提起重为G的货物，且保持平衡，则两力的夹角θ的余弦值为________．[如图，由平行四边形法则可知，|OA|＝G，在△AOB中，由余弦定理可得|OA|2＝F2＋F2－2F·Fcos(π－θ)． |OA|＝G，∴2F2(1＋cosθ)＝G2，∴cosθ＝.]7．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于________m.120(－1)[由题意可知，AC＝＝120.∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin∠ABC＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝.在△ABC中，由正弦定理得＝，于是BC＝＝＝120(－1)(m)．]8.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．[ sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，∴BD＝.]三、解答题9．如图所示，一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C，D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，此人向东走300米到达B处之后，再看C，D，则分别在北偏西15°和北偏西60°方向，求目标C，D之间的距离．[解]由题意得，在△ABD中，因为∠DAB＝60°，∠DBA＝30°，所以∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，因为AB＝300，所以BD＝300·sin60°＝150，在△ABC中，因为∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝60°.由正弦定理得＝，所以BC＝×＝100，在△BCD中，因为BC＝100，BD＝150，∠CBD＝45°，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝37500，所以CD＝50.所以目标C，D之间的距离为50米．10．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB．(1)求角C的大小；(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围．[解](1)由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinAsinB，即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cosC＝＝＝－，又 0
