课时分层作业(十四)二倍角的三角函数(建议用时：40分钟)一、选择题1．sin10°sin50°sin70°＝()A．B．C．D．C[sin10°sin50°sin70°＝sin10°cos40°cos20°＝＝＝.]2．已知sin＝cos，则cos2α＝()A．1B．－1C．D．0D[因为sin＝cos，所以cosα－sinα＝cosα－sinα，即sinα＝－cosα，所以tanα＝＝－1，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0，故选D．]3．设cos2θ＝，则cos4θ＋sin4θ＝()A．B．C．D．C[cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝＋cos22θ＝＋×＝.]4．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝()A．B．C．D．A[由tanθ＋＝＋＝＝4，得sinθcosθ＝，则sin2θ＝2sinθcosθ＝2×＝.]5．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα＝()A．B．1C．D．D[∵sin2α＋cos2α＝，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝，∴cos2α＝.又α∈，∴cosα＝，sinα＝.∴tanα＝.]二、填空题6．已知tan＝，tan＝－，则tan(α＋β)＝________.[∵tan＝tan＝＝＝，∴tan(α＋β)＝＝＝.]7．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．[∵α为锐角，∴α＋∈，又∵cos＝，∴sin＝，∴sin＝2sincos＝，cos＝2cos2－1＝，∴sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.]8．若θ∈，且2sin2θ＋sin2θ＝－，则tan＝________.[由2sin2θ＋sin2θ＝－，得1－cos2θ＋sin2θ＝－，得cos2θ－sin2θ＝，2cos＝，即cos＝，又θ∈，所以2θ＋∈，则tan＝，所以tan＝tan＝＝.]三、解答题9．已知sinα＋cosα＝，0<α<π，求sin2α，cos2α，tan2α的值．[解]∵sinα＋cosα＝，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，∴sin2α＝－且sinαcosα＝－<0.∵0<α<π，sinα>0，∴cosα<0.∴sinα－cosα>0.∴sinα－cosα＝＝＝.∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(sinα＋cosα)(cosα－sinα)＝×＝－.tan2α＝＝.10．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若f＝－，α∈，求sin的值．[解](1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝，所以f(x)＝－sin2x(a＋2cos2x)，由f＝0得－(a＋1)＝0，得a＝－1.(2)由(1)得，f(x)＝－sin4x，因为f＝－sinα＝－，即sinα＝，又α∈，从而cosα＝－，所以有sin＝sinαcos＋cosαsin＝.1．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则＝()A．8B．4C．2D．1C[因为m＝2sin18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.所以＝＝＝＝＝2.故选C．]2．(多选题)下列各式中，值为的是()A．2sin15°cos15°B．C．1－2sin215°D．BCD[2sin15°cos15°＝sin30°＝；＝＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝；1－2sin215°＝cos30°＝；＝·＝·tan30°＝.故选BCD．]3．化简：－sin10°的值为___________．[原式＝－sin10°＝－sin10°×＝＝＝＝.]4．若sin＝，则cos＝________.－[∵＋＝，∴sin＝cos＝，∴cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.]5．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．[解]∵∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，∴∠BAC＝θ，∴AC＝BC＝30m.又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，∴∠CAD＝2θ，∴AD＝CD＝10m.∴在Rt△ADE中，AE＝AD·sin4θ＝10sin4θ(m)，在Rt△ACE中，AE＝AC·sin2θ＝30sin2θ(m)，∴10sin4θ＝30sin2θ，即20sin2θcos2θ＝30sin2θ，∴cos2θ＝，又2θ∈，∴2θ＝，∴θ＝，∴AE＝30sin＝15(m)，∴θ＝，建筑物AE的高为15m.
