3.1.2两条直线平行与垂直的判定一、两直线平行1．特殊情况下的两条直线平行的判定两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为，故它们互相平行.2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们，即.证明如下：设两条直线的斜率分别为.如果(如图)，那么它们的倾斜角相等，即.∴,∴.反过来，如果两条直线的斜率相等，即,那么.由于，∴.又两条直线不重合，∴.二、两直线垂直1．特殊情况下的两条直线垂直的判定当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为时，两条直线互相垂直.2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相，即.证明如下：设两条直线与的倾斜角分别为与.如果,这时.否则,则,与相矛盾.设(如下图)，图(1)的特征是与的交点在x轴上方；图(2)的特征是与的交点在x轴下方；图(3)的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有. ,的斜率分别是,且，∴.∴.∴,即.反过来，若，即.不失一般性，设，则,即,∴.K知识参考答案：一、1．90°2．斜率平行二、1．90°0°2．−1垂直K—重点两条直线的平行、垂直关系，根据直线的位置关系求参数K—难点两条直线平行与垂直的综合应用K—易错忽略直线斜率的存在性致错1．两条直线的平行关系在判断两条直线是否平行时，首先应判断直线的斜率是否存在，然后根据斜率的关系进行判断，同时不要漏掉两条直线重合的情况.【例1】根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行.(1)l1经过点Α(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)；(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点，；(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5).【解析】(1)由题意知，，所以直线l1与直线l2平行或重合，又，故l1∥l2.(2)由题意知，，所以直线l1与直线l2平行或重合，又，故直线l1与直线l2重合.(3)由题意知，，则k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合.(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.2．两条直线的垂直关系判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于−1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.【例2】根据下列给定的条件,分别判断直线l1与l2是否垂直:(1)l1经过点A(1,3),B(-1,-1),l2经过点C(2,1),D(4,0);(2)l1经过点E(-1,3),F(-1,-5),l2经过点G(2,4),H(-1,4);(3)l1的倾斜角为30°,l2经过点M(1,),N(2,0);(4)l1经过点P(2,-1),Q(3,4),l2经过点R(5,2),S(0,1).【思路点拨】若斜率均存在，求出斜率，利用进行判断，注意数形结合及斜率不存在的特殊情况.3．根据直线的位置关系求参数已知两直线平行或垂直求解参数的相关问题时，首先需考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解；若斜率不存在，则需注意特殊情形.此外，已知两直线垂直求解参数时，还需注意斜率是否为零.【例3】已知直线经过点,直线经过点.（1）若,求的值;（2）若,求的值.【解析】由题意知直线的斜率存在且.（1）若,则直线的斜率也存在,又,由,得,解得或.经检验,当或时,.（2）若，当时,,,不符合题意;当时,直线的斜率存在且不为0,则直线的斜率也存在，且,即,解得或.经检验，当或时，.【例4】已知点A(2−，−5)，B(6，6)，点P在y轴上，且∠APB=90°，则点P的坐标为A．(0，−6)B．(0，7)C．(0，−6)或(0，7)D．(6−，0)或(7，0)【答案】C4．两直线平行和垂直的综合应用利用直线平行与垂直的条件判断三角形或四边形的形状是常见题型，同时要熟知各种图形的特点及判定方法.证明两直线平行时，仅有斜率相等是不够的，注意排除两直线重合的情况.【例5】已知,试判断四边形ABCD的形状.【解析】由题意，可得,∴.∴AB∥CD,BC∥DA.∴四边形ABCD为平...
