第四章§11.1利用函数的性质判定方程解的存在一、选择题1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是()A．－，－1B.，1C.，－1D．－，1[答案]B[解析]令f(x)＝2x2－3x＋1＝0得x＝或x＝1.故选B.2．函数f(x)＝x3－2x2＋2x的零点个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析] f(x)＝x3－2x2＋2x＝x(x2－2x＋2)，又x2－2x＋2＝0，Δ＝4－8<0，∴x2－2x＋2≠0，∴f(x)的零点只有1个，故选B.3．函数f(x)＝的零点个数为()A．3B．2C．1D．0[答案]B[解析]令f(x)＝0，则x2＋2x－3＝0(x≤0)或x2－2＝0(x>0)，解得：x＝－3或x＝符合题意，故选B.4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)[答案]C[解析] f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，即f(0)f(1)<0，∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．5．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]函数f(x)的零点个数，即方程f(x)＝0的实数根个数，令f(x)＝0得，2x|log0.5x|＝1，∴|logx|＝()x，令g(x)＝()x，h(x)＝|logx|，在同一坐标系中画出两函数的图像易知有两个交点，故f(x)有两个零点．6．下列函数在区间[1,2]上一定有零点的是()A．f(x)＝3x2－4x＋5B．f(x)＝x3－5x－5C．f(x)＝lnx－3x＋6D．f(x)＝ex＋3x－6[答案]D[解析]对于A：f(1)＝4，f(2)＝9，f(1)·f(2)>0，无法判断f(x)在[1,2]上是否有零点；对于B：f(1)＝－9，f(2)＝－7，f(1)·f(2)>0，同选项A一样，无法判断；对于C：f(1)＝3，f(2)＝ln2，f(1)·f(2)>0，同选项A、B一样，无法判断；对于D：f(1)＝e－3，f(2)＝e2，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在[1,2]上有零点．二、填空题7．函数f(x)＝的零点是________.[答案]－2[解析]f(x)＝＝x＋2(x≠2)，令f(x)＝0，得x＝－2.8．设函数f(x)＝，若f(－4)＝2，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是________．[答案]3[解析]由已知得，∴f(x)＝，作图像如图所示．由图像可知f(x)＝x的解的个数为3.三、解答题9．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．[解析]由已知方程得x2－ax－b＝0的两根为2和3.∴∴∴g(x)＝－6x2－5x－1.令－6x2－5x－1＝0得6x2＋5x＋1＝0，∴x＝－或x＝－.∴函数g(x)＝－6x2－5x－1的零点是－，－.10．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图像与x轴总有交点．(1)求m的取值范围；(2)若函数图像与x轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m的值．[解析](1)当m＋6＝0即m＝－6时，函数y＝－14x－5与x轴有一个交点；当m＋6≠0即m≠－6时，有Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝4(－9m－5)≥0，解得m≤－，即当m≤－且m≠－6时，抛物线与x轴有一个或两个交点，综上可知，当m≤－时，此函数的图像与x轴总有交点．(2)设x1、x2是方程(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1＝0的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝. ＋＝－4，即＝－4，∴－＝－4，解得m＝－3，当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0，符合题意，∴m的值是－3.一、选择题1．(2014·北京高考)已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)[答案]C[解析]因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C.2．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的范围是()A．(1，＋∞)B．(0,1)C．(2，＋∞)D．(0,1)∪(1,2)[答案]A[解析]令y1＝ax，y2＝x＋a，则f(x)＝ax－x－a有两个零点，即函数y1＝ax与y2＝x＋a有两个交点．(1)当a>1时，y1＝ax过(0,1)点，而y2＝x＋a过(0，a)点，而(0，a)点在(0,1)点上方，∴一定有两个交点．(2)当0
1.二、填空题3．关于x的方程mx2＋2x＋1＝0至少有一个负根，则m的范围为________．[答案]m≤1[解析]①m＝0时，x＝－适合题意．②m≠0时，应有m<0或解得m<0或00.∴f()f(1)<0.而f(x)＝lgx＋x在(0，＋∞)上单调递增．∴f(x)仅有一个...
