【成才之路】2015-2016学年高中数学3.3.1几何概型练习新人教A版必修3基础巩固一、选择题1．如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1)，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，则应选择的游戏盘是()[答案]A[解析]P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝1－，P(D)＝.则P(A)最大，故选A.2.如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是()A.B.C.D.[答案]B[解析]设事件A＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A的几何区域为内切圆的面积S＝πR2(2R为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P(A)＝＝，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥A1－ABC内的概率是()A.B.C.D.[答案]B[解析]体积型几何概型问题．P＝＝.4.如图，在一个边长为a、b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为()A.B.C.D.[答案]C[解析]S矩形＝ab.S梯形＝b＝ab.故所投的点落在梯形内部的概率为P＝＝＝.5．(2015·山东济南模拟)在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是()A.B.C.D.1[答案]A[解析]设在[0,1]内取出的数为a，b，若a2＋b2也在[0,1]内，则有0≤a2＋b2≤1.如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a2＋b2在[0,1]内的点在单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为＝.6．在面积S为△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是()A.B.C.D.[答案]C[解析]如图，设点C到边AB的距离为h，则S△ABC＝|AB|·h，S△PBC＝|PB|·h.又因为S△PBC>S△ABC，所以|PB|>|AB|，故△PBC的面积大于的概率是.二、填空题7．(2013·福建)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为________．[分析]解不等式，求出a的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可．[答案][解析]由题意，得0＜a＜，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a－1＜0”发生的概率为.8．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体的6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”．那么小蜜蜂“安全飞行”的概率为________．[答案][解析]棱长为3的正方体的体积为3×3×3＝27，若小蜜蜂“安全飞行”，则需控制在以原正方体的中心为中心的棱长为1的小正方体内部，故小蜜蜂飞行区域的体积为1×1×1＝1.根据几何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飞行”的概率为.三、解答题9．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．[解析]在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型．(1)P＝＝＝；(2)P＝＝＝；(3)P＝＝＝＝.10．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m、宽20m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．[分析]海豚在水中自由游弋，它的嘴尖在水池中的位置有无限多个，并且每个位置都是等可能的，满足几何概型的条件，本题可先求出所求事件对应部分面积及整个区域面积，再利用几何概型概率公式求解．2[解析]如下图，该区域是长30m、宽20m的长方形．图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m\”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率，由于该区域的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)，所以P(A)＝＝≈0.31.[点评]解决此类题的关键：(1)根据题意确定是与面积(体积)有关的几何概型；(2)找出或构造出对应的几何图形，求出面积(体积)．能力提升一、选择题1．(2015·东曲阜师大附中月考)在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为()A.B.C.D.[答案]B[解析]该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以直角顶点为圆心，1为半径的圆内，所以所求的概率为.2．(2015·虹宁大连质检)一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点...
