第三章3.23.2.3指数函数与对数函数的关系一、选择题1．函数y＝x＋2，x∈R的反函数为()A．x＝2－yB．x＝y－2C．y＝2－x，x∈RD．y＝x－2，x∈R[答案]D[解析]由y＝x＋2得，x＝y－2，∴y＝x－2. x∈R，∴y＝x＋2∈R，∴函数y＝x＋2，x∈R的反函数为y＝x－2，x∈R.2．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()A．y＝exB．y＝100·lnxC．y＝lgxD．y＝100·2x[答案]A[解析] 指数函数图象的增长速度越来越快，而对数函数图象的增长速度逐渐变缓慢，又 e>2，∴y＝ex的图象的增长速度比y＝100·2x的图象的增长速度还要快，故选A．3．已知函数f(x)＝，则f[f()]＝()A．－1B．log2C．D．[答案]D[解析]f[f()]＝f[log2]＝f(－1)＝3－1＝.4．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为()A．－eB．－C．D．e[答案]C[解析] 函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，∴f(x)＝lnx，又 函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，∴g(x)＝－lnx，∴g(a)＝－lna＝1，∴lna＝－1，∴a＝.5．函数y＝f(x)的图象过点(1,3)，则它的反函数的图象过点()A．(1,2)B．(2,1)C．(1,3)D．(3,1)[答案]D[解析] 互为反函数的图象关于直线y＝x对称，∴点(1,3)关于直线y＝x的对称点为(3,1)，故选D．6．函数y＝1－(x≥2)的反函数为()A．y＝(x－1)2＋1(x≥1)B．y＝(x－1)2－1(x≥0)C．y＝(x－1)2＋1(x≤1)D．y＝(x－1)2＋1(x≤0)[答案]D[解析] y＝1－，∴＝1－y，∴x－1＝(1－y)2，∴y＝(1－x)2＋1＝(x－1)2＋1.又 x≥2，∴x－1≥1，∴≥1，∴－≤－1，∴1－≤0.∴函数y＝1－(x≥2)的反函数为y＝(x－1)2＋1(x≤0)．二、填空题7．函数y＝π－x的反函数为________．[答案]y＝－logπx(x>0)[解析]由y＝π－x，得－x＝logπy，∴y＝－logπx. π－x>0，∴函数y＝π－x的反函数为y＝－logπx(x>0)．8．设f(x)＝，则满足f(x)＝的x值为__________．[答案]3[解析]由f(x)＝，得或，∴x＝3.三、解答题9．已知f(x)＝，求f－1()的值．[解析]令y＝，∴y＋y·3x＝1－3x，∴3x＝，∴x＝log3，∴y＝log3，∴f－1(x)＝log3.∴f－1()＝log3＝log3＝－2.故f－1()的值为－2.10．求下列函数的反函数．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝1－(－1≤x<0)；(3)f(x)＝.[解析](1)设y＝f(x)＝. x≠－，∴y≠0.由y＝，解得x＝.∴f－1(x)＝(x≠0)．(2)设y＝f(x)＝1－. －1≤x<0，∴0)B．y＝(x>)C．y＝－(
