高中数学 3.1 和角公式 3.1.3 两角和与差的正切课后导练 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学试题VIP专享VIP免费

3.1.3两角和与差的正切课后导练基础达标1.如果tan(α+β)=43,tan(β-4）=21，则tan(α+4)的值为（）A.1110B.112C.52D.2解析：tan(α+β)=tan［(α+4)+(β-4)］=4321121)4tan()4tan(1)4tan()4tan(mm〔令tan(α+4)=m〕,求得m=112,即tan(α+4)=112.答案：B2.化简tan(2x+4)-tan(4-2x)等于（）A.tanxB.2tanxC.tan2xD.2tan2x解析：由tan［（4+2x）-(4-2x)］=)24tan()24tan(1)24tan()24tan(xxxx,∴原式=2tanx.答案：B3.若α+β=43,则（1-tanα)(1-tanβ)等于（）A.1B.-1C.2D.-2解析：(1-tanα)(1-tanβ)=1-(tanα+tanβ)+tanαtanβ=1-tan(α+β)(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=1-tan43·(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2.答案：C4.若5tan1tan1AA,则tan(4+A)的值为（）A.5B.5C.55D.55解析：tan(4+A)=5551tan1tan1AA.答案：D5.sin(α+β)=32,sin(α-β)=51,则tantan的值为（）1A.713B.137C.1213D.1312解析：由)2.(51sincoscossin)1(,32sincoscossin①+②,得2sinαcosβ=3251=157,①-②,得2cosαsinβ=1513,两式相比,得tantan=137.答案：B6.如果tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两根，则)cos()sin(=________.解析：tanα+tanβ=3,tanα·tanβ=-3,23313tantan1tantansinsincoscossincoscossin)cos()sin(.答案：237.已知tan(4+α)=2,则2coscossin21的值为___________.解析：∵tan(4+α)=2,∴tan1tan1=2.∴tanα=31.∴3213121)31(1tan21tancoscossin2cossincoscossin21222222答案：328.化简3+tan(A+60°)tan(A-60°)+tanA·tan(A+60°)+tanAtan(A-60°)=______.解析：原式=1+tan(A+60°)tan(A-60°)+1+tanAtan(A+60°)+1+tanAtan(A-60°)=)60tan()60tan(tan)60tan()60tan(tan)6060tan()6tan()60tan(AAAAAAAAAAAAt3)60tan(tan3)60tan(tan3)60tan()60tan(AAAAAA=0.2答案：0综合运用9.已知sinβ=msin(2α+β),其中m≠0,２α+β≠kπ(k∈Z).求证：tan(α+β)=mm11tanα.证明：由sinβ=msin(２α+β),得sin［（α+β）-α］=msin［(α+β)+α］,∴sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m［sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα］,整理得（1-m）sin（α+β）cosα=(1+m)cos(α+β)·sinα,即tan(α+β)=mm11tanα.10.如图，矩形ABCD中，AB=a,BC=2a,在BC上取一点P，使AB+BP=PD，求tan∠APD的值.解：由AB+BP=PD,得a+BP=22)2(BPaa,解得BP=32a,设∠APB=α,∠DPC=β,则tanα=23BPAB,tanβ=43PCCD.从而tan(α+β)=tantan1tantan=-18.又∵∠APD+(α+β)=π,∴tan∠APD=18.11.已知tanα=3(1+m),3(tanαtanβ+m)+tanβ=0,且α、β为锐角，求α+β.解：由已知可得tanα=3(1+m),①tanβ=-3tanαtanβ-3m,②①+②可得tanα+tanβ=3(1-tanαtanβ),∴tantan1tantan=tan(α+β)=3.又∵0<α<2,0<β<2,∴0<α+β<π,α+β=3.拓展探究12.是否存在锐角α和β,使得下列两式①α+2β=32,②tan2tanβ=2-3同时成立?解:假设存在符合题意的锐角α,β.3由①得2+β=3,所以tan(2+β)=3tan2tan1tan2tan.由②知tan2tanβ=2-3,所以tan2+tanβ=3-3,所以tan2,tanβ是方程x2-(3-3)x+2-3=0的两个根,得x1=1,x2=2-3.因为0<α<2,0<2<4,0