两角和与差的余弦1．sin75°cos45°＋sin15°sin45°的值为()A．B．C．D．－12．若sin(π＋θ)＝，θ是第二象限角，，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是()A．B．C．D．3．若sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)＝()A．B．C．D．14．下列四个命题中的假命题是()A．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβB．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC．对任意的α和β，有cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβD．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ5．向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，a与b的夹角为60°，则直线xcosα－ysinα＝与(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．随α，β的值而定6．在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则△ABC为________角三角形．7．已知α，β均为锐角，且sinα＝，cosβ＝，则α－β的值为________．8．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，＜α＋β＜2π，＜α－β＜π，求cos2α.9．已知，cos(α＋β)＝，α，β均为锐角，求cosβ的值．参考答案1．解析：先由诱导公式sinα＝cos(90°－α)，得sin75°＝cos15°.再由两角差的余弦公式，得sin75°cos45°＋sin15°sin45°＝cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝.答案：C2．解析：由sin(π＋θ)＝，得.又由θ是第二象限角，得.由，得.又由φ是第三象限角，得，则cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ＝.答案：B3．解析：将两式平方后相加，可得2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝2－，即有cos(α－β)＝.答案：B4．解析：由于选项C是公式，故选项C，D显然正确；对于选项A，当α＝2kπ(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z)时，，cos2kπ·＋sin2kπ·＝0，因此存在无穷多个α，β的值，使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，但不是对任意的α，β均成立，所以选项A正确，选项B错误．答案：B5．解析：由已知易求得|a|＝2，|b|＝3，则cos〈a，b〉＝＝cos(α－β)＝，所以cosαcosβ＋sinαsinβ＝.所以圆心(cosβ，－sinβ)到直线的距离为，所以圆心在直线上，即圆与直线相交．答案：B6．解析：∵sinAsinB＜cosAcosB，∴cos(A＋B)＞0.又A＋B＋C＝π，∴cos(π－C)＞0，可得cosC＜0，则角C为钝角．∴△ABC为钝角三角形．答案：钝7．解析：∵α，β均为锐角，∴cosα＝，sinβ＝.又sinα＜sinβ，∴α＜β.∴＜α－β＜0.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝.∴α－β＝.答案：8．解：cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)，∵＜α＋β＜2π，∴sin(α＋β)＝.又∵＜α－β＜π，∴sin(α－β)＝.∴cos2α＝.9．解：∵，α为锐角，∴，则有sin2α＝48cos2α＝48(1－sin2α)．解得.∴.又cos(α＋β)＝，且0＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝.
