3.1.2两角和与差的正弦课后导练基础达标1.若α、β为锐角，且tanα=x,cosβ=，则α+β的值为（）A.150°B.120°C.90°D.60°解析：cosβ==tanα·cosα=sinα,由于α、β为锐角，∴α+β=90°.答案：C2.已知△ABC中，有关系式tanA=成立，则△ABC为（）A.等腰三角形B.A=60°的三角形C.等腰三角形或A=60°的三角形D.不能确定解析：“切化弦”后可得cos(A-C)=cos(A-B),∴A-C=A-B或A-C=-（A-B），即B=C或2A=B+C，即B=C或A=60°.答案：C3.△ABC中，tanC=且sinAcosB=cos(120°-B)sinB,则△ABC是（）A.等腰三角形B.等腰但非直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析：由tanC=,得C=60°,由sinAcosB=cos(120°-B)化简得sinAcosB=cosAsinB,∴A=B.∴△ABC为等边三角形.答案：D4.（2006东北三校联考）如果α∈(,π),且sinα=,那么sin(α+)-cosα等于()A.B.C.D.解析:sin(α+)-cosα=sinαcos+cosαsin-cosα=sinα=.答案:A5.当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（）A.最大值为1，最小值为-1B.最大值为1，最小值为-C.最大值为2，最小值为-2D.最大值为2，最小值为-1解析：f(x)=2(sinx+cosx)=2(sinxcos+cosxsin)=2sin(x+),∵-≤x≤,∴-≤x+≤.∴-1≤f(x)≤2,选D.答案：D6.设a=2cos60°,b=cos5°-sin5°,c=2(sin47°·sin66°-sin24°sin43°),则a、b、c的大小关系是_______.解析：b=cos5°-sin5°=2cos65°,c=2(cos43°·cos24°-sin24°sin43°)=2cos67°,∵cosx在［０，］上为减函数，∴a>b>c.答案：a>b>c7.函数y=sinx+cosx+2的最小值为________.解析:y=sinx+cosx+2=sin(x+)+2,sin(x+)=-1时,ymin=2-.答案：2-8.cos285°cos15°-sin255°sin15°=_________.解析:cos285°cos15°-sin255°sin15°=cos(270°+15°)cos15°-sin(270°-15°)·sin15°=sin15°·cos15°+cos15°sin15°=sin(15°+15°)=sin30°=.答案：综合运用9.已知f(x)=a+bsinx+ccosx的图象经过A（0，1），B（，1），当x∈［0，］时，f(x)的最大值为2-1,求f(x)的解析式.解:由题意知∴f(x)=a+(1-a)(sinx+cosx)=a+(1-a)sin(x+).∵x∈［0,］,∴sin(x+)∈［,1］.∴当1-a>0时,a+(1-a)·1=2-1,得a=-1;当1-a<0时,a+(1-a)·=2-1,无解;当1-a=0时,f(x)=a=1矛盾.综上,可得a=-1.∴f(x)=-1+2sinx+2cosx=2sin(x+)-1.10.求证:在△ABC中,sinA·cosB·cosC+cosA·sinB·cosC+cosA·cosB·sinC=sinA·sinB·sinC.证明：由A、B、C为△ABC内角，∴A+B+C=π.∴左边=cosC(sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosBsinC=cosCsin(A+B)+cosAcosBsinC=sinC［-cos(A+B)+cosAcosB］=sinC［-cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB］=sinAsinBsinC.11.求函数f(x)=的值域.解：由(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,∴sinxcosx=.∴f(x)===(sinx+cosx-1)(其中sinx+cosx+1≠0).又sinx+cosx=(sinx+cosx)=sin(x+),∴sinx+cosx∈［-,］,且sinx+cosx≠-1.∴f(x)的值域为［,-１)∪(-1,］.拓展探究12.已知0<β<,<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.解：∵<α<,∴-<-α<0.∴sin(-α)=.又∵0<β<,∴<+β<π.∴cos(+β)=.∴sin(α+β)=-cos(+α+β)=-cos［(+β)-(-α)］=-cos(+β)cos(-α)-sin(+β)sin(-α)=-()×.
