高中数学 3.1 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦优化训练 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学试题VIP专享VIP免费

3.1.1两角和与差的余弦5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.(高考全国卷Ⅰ，文1)已知向量a、b满足｜a｜=1，｜b｜=4，且a·b=2，则a与b的夹角为（）A.B.C.D.解析：∵a·b=|a||b|cos〈a,b〉，2=1×4cos〈a,b〉，∴cos〈a,b〉=，〈a,b〉=.答案:C2.(高考湖北卷，理1)已知向量a=（，1），b是不平行于ｘ轴的单位向量，且a·b=，则b等于（）A.（，）B.(,)C.(,)D.（1，0）解析：A答案中的b不满足a·b=，C答案中的b不是单位向量，D答案中的b平行于x轴，所以淘汰A、C、D，而B答案满足题设所有条件.答案:B3.不查表求值：cos80°cos20°+sin80°sin20°=_____________.解析：原式=cos（80°-20°)=cos60°=.答案:4.化简：cos（x+y）cos（x-y）-sin（x+y）sin（x-y）=______________.解析：原式=cos［（x+y)+（x-y)］=cos2x.答案:cos2x10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.sin22°sin23°-cos23°cos22°的值为（）A.B.C.D.解析：利用两角和的余弦公式，M=-（cos23°cos22°-sin23°sin22°)=-cos（23°+22°)=-cos45°=.答案:D2.sin75°cos45°+sin15°sin45°的值为（）A.B.C.D.-1解：先用诱导公式sinα=cos（90°-α)得sin75°=cos15°，再用两角差的余弦公式：sin75°cos45°+sin15°sin45°=cos15°cos45°+sin15°sin45°=cos（45°-15°)=cos30°=.答案:C3.满足cosαcosβ=+sinαsinβ的一组α、β的值是（）A.α=,β=B.α=,β=C.α=,β=D.α=,β=解析：由cosαcosβ=+sinαsinβ,得cosαcosβ-sinαsinβ=，利用两角和的余弦公式得cos（α+β)=，∴α+β=2kπ±（k∈Z).答案:A4.(2005重庆高考卷,文2)（cos-sin）（cos+sin）=________________.解析：（cos-sin)（cos+sin)=cos·cos-sin·sin=cos（+)=cos=.答案:5.cos15°+sin15°=______________.解：cos15°+sin15°=cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos（60°-15°)=cos45°=.答案:6.已知cos（α-β）cosα+sin（α-β）sinα=m，且β为第三象限角，求sinβ的值.解：由于cos（α-β)cosα+sin（α-β)sinα中视α-β为一个角时由两角差的余弦公式，可求出cosβ，再由同角三角函数的基本关系式求出sinβ.∵cos（α-β)cosα+sin（α-β)sinα=m.∴cos（α-β-α)=m.∴cosβ=m.而β为第三象限角，∴sinβ=.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列四个命题中的假命题是（）A.存在这样的α和β的值使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβB.不存在无穷多个α和β的值使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβC.对任意的α和β有cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβD.不存在这样的α和β的值使得cos（α+β）≠cosαcosβ-sinαsinβ解析：由于选项C是公式，故选项C、D显然正确，对于选项A，可令α=2kπ，k∈Z，β=2kπ+时，cos（2kπ+2kπ+)=0，cos2kπ·cos（2kπ+)+sin2kπsin（2kπ+)=0，因此存在无数多个α、β，使得cos（α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ，但不是对任意的α、β均成立，所以选项A也是真命题.答案:B2.已知cos（α+β）+cos（α-β）=，则cosαcosβ的值为（）A.B.C.D.解析：由两角和与差的余弦公式cos（α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,cos（α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，所以cos（α+β)+cos（α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=2cosαcosβ=，∴cosαcosβ=.答案:D3.sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A.B.C.D.解析：原式=sin163°sin223°+sin（90°+163°)sin（90°+223°)=sin163°sin223°+cos163°cos223°=cos（223°-163°)=cos60°=.答案:B4.已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（α-β）的值是（）A.1B.-1C.D.解析：由已知可得sinα+sinβ=-sinγ，①cosα+cosβ=-cosγ.②①2+②2,得2+2cos（α-β)=1.∴cos（α-β)=.答案:D5.(2006内蒙古包头一模，6)向量a=(2cosα,2sinα)，b=(3cosβ,3sinβ)，a与b的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα=与(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.随α、β的值而定解析：cos〈a,b〉==cos(α-β)=.圆心(cosβ,-sinβ)到直线的距离为=0，所以圆心在直线上，圆与直线相交.答案:B6.cos（54°-x）cos（36°+x）-sin（54°-x）sin（36°+x）=____________.解析：cos（54°-x)cos（36°+x)-sin（54°-x)sin（36°+x)=cos［（54°-x)+（36°+x)］=cos90°=0.答案:07.若cosα+cosβ=，sinα+sinβ=，则cos（α-β）的值为_______________.解析：将两条件等式平方后相加，得（cos2α+sin2α)+（cos2β+sin2β)+2（cosαcosβ+sinαsinβ)=.∴2+2cos（α-β)=，cos（α-β)=.答案:8.函数y=sinx+cosx的值域为______________.解析：y=sinx+cosx=2(cosxcos+sinxsin)=2cos(x)∈［-2,2］.答案:［-2,2］9.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,＜α+β＜2π,＜α-β＜π,求cos2α.解:cos2α=cos［(α+β)+(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β),∵＜α+β＜2π,∴sin(α+β)=.又∵＜α-β＜π,∴sin(α-β)=.∴cos2α=×()-()×.10.已知cos（α+β）=，cos（α-β）=,求tanαtanβ的值.解:由①+②,得cosαcosβ=,②-①,得sinαsinβ=.∴tanαtanβ=.