【优化指导】2015年高中数学2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算课时跟踪检测新人教A版必修4考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难平面向量的坐标表示1、2、46平面向量的坐标运算3、57、8综合问题9、10111．若O(0,0)，A(1,2)，且OA′＝2OA，则A′点坐标为()A．(1,4)B．(2,2)C．(2,4)D．(4,2)解析：设A′(x，y)，OA′＝(x，y)，OA＝(1,2)，∴(x，y)＝(2,4)．故选C.答案：C2．已知AB＝(5，－3)，C(－1,3)，CD＝2AB，则点D坐标是()A．(11,9)B．(4,0)C．(9,3)D．(9，－3)解析：设D(x，y)，则CD＝(x＋1，y－3)，由CD＝2AB，得解得即D(9，－3)．答案：D3．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()A．3a＋bB．3a－bC．a＋3bD．－a＋3b解析：设c＝λa＋μb，即(4,2)＝(λ，λ)＋(－μ，μ)．所以λ－μ＝4且λ＋μ＝2，解得λ＝3，μ＝－1，所以c＝3a－b.故选B.答案：B4．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，MP＝MN，则P点的坐标为______．解析：设P(x，y)，则由MP＝MN得，(x－3，y＋2)＝(－8,1)，所以P点的坐标为.答案：5．在平行四边形ABCD中，若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则AD＝______.(用坐标表示)解析：BC＝AC－AB＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．又AD＝BC，∴AD＝(－1，－1)．答案：(－1，－1)6．已知A(2,0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，O为原点，若a＝OA，求x，y的值．解：∵a＝(x＋3，x－3y－5)＝(2,0)，∴∴∴x＝－1，y＝－2.7.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC，BD的交点，AD＝(3,7)，AB＝(－2,1)．求OB的坐标．解：DB＝AB－AD＝(－2,1)－(3,7)＝(－5，－6)，∴OB＝DB＝(－5，－6)＝.18．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于()A．(－2，－2)B．(2,2)C．(－2,2)D．(2，－2)解析：①×2＋②得3a＝(6，－6)，故a＝(2，－2)．答案：D9．已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量2AB＋3BC＋AC的坐标为________．解析：根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0，1)．∴AB＝(1,0)，BC＝(0,1)，AC＝(1,1)．∴2AB＋3BC＋AC＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)．答案：(3,4)10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得(3)设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b，∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)．∴N(9,2)．∴MN＝(9，－18)．11．(1)已知向量p＝a＋tb，q＝c＋sd(s，t是任意实数)，其中a＝(1,2)，b＝(3,0)，c＝(1，－1)，d＝(3,2)，求向量p、q交点的坐标；(2)已知a＝(x＋1,0)，b＝(0，x－y)，c＝(2,1)，求满足等式xa＋b＝c的实数x、y的值．解：(1)设交点坐标为(m，n)，则p＝(m，n)，q＝(m，n)，所以p＝a＋tb＝c＋sd＝q.所以(1,2)＋t(3,0)＝(1，－1)＋s(3,2)．即(3t＋1,2)＝(3s＋1,2s－1)．所以所以所以(m，n)＝(1,2)＋t(3,0)＝(3t＋1,2)＝.即向量p、q的交点坐标为.2(2)因为xa＝(x2＋x,0)，所以xa＋b＝(x2＋x，x－y)．所以(x2＋x，x－y)＝(2,1)．所以所以或1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据，向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点时，则向量的终点坐标并不是向量的坐标，此时AB＝(xB－xA，yB－yA)．3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积．向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．3
