2．3总体特征数的估计2．3.2方差与标准差1．一组数据的方差为s2，将这组数据扩大2倍，则新数据的方差为()A．s2B.s2C．2s2D．4s2解析：∵s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，x＝，∴x＇＝＝2x.∴s′2＝[(2x1－2x)2＋(2x2－2x)2＋…＋(2xn－2x)2]＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]＝4s2.答案：D2．设x1＝4，x2＝5，x3＝6，则该样本的标准差为()A.B.C.D.解析：∵x1＝4，x2＝5，x3＝6，∴x＝＝＝5，∴s2＝[(4－5)2＋(5－5)2＋(6－5)2]＝，∴s＝，选B.答案：B3．一组数据中的每一个数都加上10后，得到一组新的数据，这组数据的平均数是20，方差是12，则原来这组数据的平均数和方差分别是多少？解析：设原来这组数据为x1，x2，…，xn，每个数据加上10后所得新数据为x1＋10，x2＋10，…，xn＋10.则[(x1＋10)＋(x2＋10)＋…＋(xn＋10)]＝20.即[(x1＋x2＋…＋xn)＋10n]＝20.(x1＋x2＋…＋xn)＋10＝20.(x1＋x2＋…xn)＝20－10＝10.即x＝10，原来这组数据的平均数为10.因为新数据方差为12，即1{[(x1＋10)－20]2＋[(x2＋10)－20]2＋…＋[(xn＋10)－20]2}＝[(x1－10)2＋(x2－10)2＋…＋(xn－10)2]＝12.故原来数据的方差是12.4．对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀．解析：x甲＝×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33(m/s)，s甲2＝×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]≈15.7，x乙＝×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33(m/s)，s乙2＝×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]≈12.7.所以x甲＝x乙，s甲2>s乙2，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．5．已知甲、乙两个样本(样本容量一样大)，若甲样本的方差是0.4，乙样本的方差是0.2，那么比较甲、乙两个样本的波动大小的结果是______________．解析：一组数据其方差越大，波动就越大，方差越小，波动也就越小．答案：甲样本的波动比乙大6．已知x1，x2，…，xn的方差为2，则2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的标准差为________．解析：由方差的性质得新数据的方差为22×2＝8，故其标准差为2.答案：27．两名跳远运动员在10次测试中的成绩分别如下(单位：m)：甲：5.855.936.075.915.996.135.896.056.006.19乙：6.116.085.835.925.845.816.186.175.856.21分别计算两个样本的标准差，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．解析：甲、乙两名运动员成绩的样本标准差分别为0.104，0.156；甲运动员的成绩比较稳定．28．(2014·武汉调研)某校拟派一名跳高运动员去参加一项校级比赛，对甲、乙两名跳高运动员去参加一项校级比赛，对甲、乙两名跳高运动员分别进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75经预测，跳高高度达到1.65m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高高度达到1.70m方可获得冠军呢？解析：甲的平均成绩和方差如下：x甲＝(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69(m)．s甲2＝[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.0006.乙的平均成绩和方差如下：x乙＝(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68(m)，s乙2＝[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.00315，显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高高度达到1.65m就很可能获得冠军，应派甲参赛，在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70m及以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩稳定性也不如甲，但是若跳高高度达到1.70m方可获得冠军时，应派乙参加比赛．3
